L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES. i9 



Get enonce, s'il subsistait avec le sens qu'on lui attribue, impliquerait, 

 comme consequence immediate, la proposition suivante : 



Lorsqu'on prolonge a I'injini une serie convergente, la somme des 

 termes est rigoureusement egale a la limite vers laquelle la serie est dite 

 converger. 



Voyons ou Ton arrive en prenant ce dernier enonce pour point de 

 depart. 



Soil la serie, 



m ( m t ) 

 Z = I -+- HIS -+- - - j 4 -H etc. 



On sail que pour toute valeur de (z) 2 moindre que 1'unite, la serie Z con- 

 verge vers la limite (1 -j- 2) m . II viendra done, en supposant (z) 2 inferieur 

 a 1 et la serie prolongee a 1'infini 



m(m I ) 



(1 -+. z) m = \ -+- mz -+- - z* -+- etc (I) 



l.z 



II est d'ailleurs bien entendu que 1'egalite (1) subsiste, non pas symbo- 

 liquement, mais bien comme expression absolue d'une veritable identite. 

 Je pose 



et j'observe que, quelle que soil la valeur positive attribute a x, je puis 

 toujours disposer de laquantite p, de maniere a ce que Ton ait en meme 

 temps 



p ^> o 



' X TT )* < ' 



Ces conditions etant supposees remplies, il m'estpermis de substituer 

 a s la fraction *j~ ; j'obtiens ainsi cette autre identite, 



r p x m(m 1 ) / a; p \ 4 n 



(iH-jr-tl+prLlH..-^* ^-(^j^et,]. (-2, 



