24 SUR L'EMPLOI DE L'INFINI DANS 



on 1'adoptait comme fondement de la science mathematique , le moindre 

 inconvenient serait de former des eleves habitues a se payer de mots, ne 

 voyant clair au fond de rien, et par suite incapables de trouver en eux- 

 memes les elements positifs d'une veritable conviction. Que deviendrait 

 d'ailleurs cette science elle-meme, lorsqu'on 1'aurait ainsi depouillee de 

 ses attributs essentiels, la complete evidence des principes fondamentaux, 

 la rigueur absolue des precedes, la verite certaine et necessaire de toutes 

 les deductions? 



On objectera peut-etre que les notions infinitesimales sont d'un frequent 

 usage et d'un puissant secours dans 1'enseignement superieur. Je rappel- 

 lerai qu'elles n'y sont introduites qu'a litre d'auxiliaires , et que la science, 

 deja toute construite independamment d'elles, offre toujours des moyensrigou- 

 reux de controler les resultats qu'elles fournissent. Si Ton fondait les 

 elements sur ces memes notions, il est visible que Ton supprimerait par 

 la toute possibilite de controle. Comment alors distinguerait-on 1'erreur 

 de la verite, toutes deux pouvant surgir comme consequences logiques 

 des memes donnees fondamentales? 



Qu'on le remarque , d'ailleurs , il ne s'agit ici que d'enseignement ele- 

 mentaire, et Ton sail que la plupart des jeunes gens ne vont point au dela 

 des elements, pour ce qui concerne les sciences mathematiques. Dans cet 

 enseignement, 1'emploi de 1'infini n'intervient qu'accompagne des incon- 

 venients les plus graves et sans apporter avec lui aucun avantage qui 

 puisse entrer en compensation. Que gagne-t-on, par exemple, amettre de 

 cote le postulatum d'Euclide et a y substituer une definition qui denature 

 Tangle en voulant qu'il devienne un espace illimite? Que gagne-t-on encore, 

 a propos des progressions geometriques decroissantes, a pretendre qu'une 

 suite de termes qui se succedent en nombre toujours inepuisable, consti- 

 tuent neanmoins un ensemble determine? Que gagne-t-on, enfin, a dire de 

 deux paralleles qu'elles se rencontrent a 1'infini et d'un zero qu'en le re- 

 petant une infinite de fois Ton peut lui faire acquerir toutes sortes de 

 valeurs? Rien, absolument rien. Ce sont la de purs non-sens, tout a fait 

 superflus, et impossibles a juslifier, a moins qu'on n'ait pour but d'habi- 

 tuer les eleves a douter de leur propre raison. II est vrai que dans la me- 



