26 SUR L'EMPLOI DE L'INFINI DANS 



APPENDICE. 



Quelques personnes m'ont engage a faire voir comment on pent suppleer a 1'emploi de 

 1'infini dans 1'enseignement des malhematiques elementaires, et proceder avec rigueur, 

 sans recourir aux demonstrations par 1'absurde, et en conservant toute la simplicite de- 

 sirable. 



Cedantauvceu qui m'etait exprime,j'ai redige, comme complement a la note ci-jointe, 

 le present appendice. 



L'emploi de 1'infini, abstraction faite des inconvenients qu'il entraine, ne presente quel- 

 que avantage reel dans les elements que lorsqu'il s'agit de mesurer les corps ronds et de 

 generaliser certaines relations demontrees vraies et constantes pour toutes valeurs com- 

 mensurables des grandeurs que Ton considere. 



Les difficultes, qui peuvent surgir dans 1'un et 1'autre de ces deuxcas, disparaissent 

 evidemment d'elles-memes, lorsqu'on definit lecercle un polygone regulier, et les gran- 

 deurs incommensurables, des quantites qui ont une commune mesure infiniment petite. 

 Tout se reduit alors a demontrer 1'exactitude des definitions auxquelles on a recours. II 

 est done clair qu'm supposant ces definitions exactes, il suffirait d'un petit nombre de de- 

 monstrations fondamentales, donnees une fois pour toutes, et ayant pour objet la preuve 

 dont il s'agit. 



Loin d'etre exactes, les definitions que je viensderappelersont, aucontraire.absurdes 

 et contradictoires. On conc.oit done que les efforts tentes pour en demontrer la justesse, ne 

 peuvent aboutir a rien de rationnel. II suit de la que, dans la voie ou les novateurs se 

 sont engages, il y a impossibilite absolue de construire , sur un fondement solide, aucune 

 theorie qui permette de resoudre, d'une maniere generale et d'un seul coup a la fois, les 

 difticultes que j'ai mentionnees tout a 1'heure. La meme impossibilite n'existant point en 

 dehors de cettc voie, je vais essayer de montrer comment le but propose me parait sus- 

 ceptible d'etre atleint. 



