L'ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES. 27 



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Je commence par poser 1'axiome suivanl : 



Lorsqu'on compare entre elles des grandeurs de mUme nature, determinees et constantes, 

 deux cas seulement peuvent se presenter : ou Men ces grandeurs sont e'gales , et alors leur 

 difference est nulle ; ou Men ces grandeurs sont inegales , et alors leur difference est une 

 quantite determinee et constante. 



De la je deduis, comme principe fondamcntal, eel autre enonce" : 



Lorsque les grandeurs comparers sont suppose'es inegales , et qu'en me" me temps I' expres- 

 sion de leur difference est reconnue moindre que toute grandeur donne'e, il est demonlre 

 par la me'me que cette difference est nulle, et que les grandeurs, dont il s'agit, sont e'gales. 



En effet, s'il n'y avail point egalite, il y aurait difference, et comme celte difference se- 

 rai I determine et constante, elle ne pourrait etre moindre que toute grandeur donnee. 

 Done, etc. 



Vient ensuite un seul theorems enonce comme il suit: 



Les grandeurs A et B, e'tant supposees telles, que leur rapport g demeure constant el 

 e'gal a C pour une suite de valeurs [ (A, , B,) , (A, , B 2 ) , (A 3 , B,) , etc. ,] qui se correspon- 

 dent deux a deux et qui convergent en me'me temps , les unes vers la limite A' , les autres 

 vers la limite B' (*) , ton a ne'cessairement 



Pour demontrer cette proposition, j'observe que 1'egalile 



A. = CB n 

 donne identiquement 



A' + A n A' = C (B' -*- B,. B'), 



ou, ce qui revient aumeme, 



A'-CB'=C(B n -B')-(A n -A') 



Les termesqui figurent dans le premier membre de l'egalite(l) sont tons deux constants 

 et determines. Leur difference, si elle n'etait pas nulle, serait determinee et constante , 

 et elle aurait pour expression le second membre de cette egalite. Or, ce second membre 

 ne peut exprimer une valeur quelconque constante et determinee, puisqu'il se compose 

 dedeux termes dont chacun prisisolementdevientaussi petit que Ton veut, en supposant 



(*) II est essentiel d'observer que les limites A', B' sont en dehors des suites [A,, A a , A 5 , etc.], [B,, B,, B 3 , etc.]- 

 Les termes compris dans ces suites s'y succedent en se rapprochant autant qu'on le veut des limites respectives A' , B', 

 mais ils ne peuvent jamais les atteindre 



