L'EINSEIGINEMENT DES MATHEMATIQUES. 29 



2"" EXEMPLE. 



Soil un polygone regulier de n cotes, circonscrit a une circonference dont le rayon 

 est R. A etant la surface de ce polygone et B son perimetre , Ton a, quel que soil n, 



A R 

 B = : 2' 



Mais a mesureque n augmente, la surface A et le perimetre B convergent en meme 

 temps vers les limites respectives, exprimees, pour 1'une , par la surface du cercle, pour 

 1'autre, par la circonference. On a done 



surf. (R) R 

 circ. (R) 2 



Je pourrais multiplier les exemples relatifs a la mesure des corps ronds, mais la 

 marche est si simple et si constamment uniforme, que je crois ce soin tout a fait superflu. 

 II ne reste done a considerer que le cas des incommensurables. 



Les donnees generates des diverses questions relatives a ce cas sont les suivanles : 



1 A et B sont deux grandeurs liees entre elles de telle facon qu'a chaque valeur de B 

 repond une valeur de A, et que si B converge vers une valeur quelconque B', A converge 

 en meme temps vers la valeur correspondante A'. 



2 Le rapport g demeure constant et egal a ^ pour toute valeur de B commensurable 

 avec B,. 



Cela pose, il s'agit de demontrer que si B' est une valeur quelconque incommensurable 

 avec B, , Ton a neanmoins 



^. 



F = : B^ 



II est visible qu'on peut toujours trouver pour B une suite devaleurs (B a , B 3 , etc.) qui 

 soient toutes commensurables avec B, et qui neanmoins convergent vers la limite B'. 

 A ces valeurs repondent, pour A, les valeurs (A,, A 3 , etc.), et, par hypothese, lorsque les 

 premieres convergent vers la limite B', celles-ci convergent en meme temps vers la 

 limite A'. 



De la resulte, conformement au theoreme etabli ci-dessus, 



- = ll . C. Q. F. D. 



b' B, 



Pour eclaircir au besoin cette solution generale, je I'appliquerai d'abord a un exemple 



