50 SUR L'EMPLOI DE L'INFIM DANS 



particulier. Je traiterai ensuite ce meme exemple d'une maniere directe et complete : 



Lorsque deux rectangles ont meme hauteur H, et des bases commensurables, les sur- 

 faces A, A, de ces rectangles sont entre elles comme leurs bases B, B,. On a done en 

 ce cas 



A A, 

 B ' = ~B7 



D'un autre cote , la hauteur H demeurant invariable et la base B convergeant vers une 

 valeur quelconque B', il est evident que la surface A converge en meme temps vers la 

 valeur A', correspondante a la base B'. 



II suit de la que le theoreme precedent est rigoureusement applicable. Si done A' de- 

 signe la surface d'un rectangle ayant H pour hauteur, et une base quelconque B' incom- 

 mensurable avec B, , Ton a necessairement 



A' A, 

 B 7 = = B~ ' 



Veut-on parvenir a ce resultat d'une maniere directe, on peut operer comme il suit : 



Soil B,, B' les bases respectives de deux rectangles ayant meme hauteur H. Soil A,, A' les 

 surfaces correspondantes de ces rectangles. 



Par hypothese, la base B' est incommensurable avec la base B : . 



Prenons une base B 2 commensurable avec la base B, , et designons par A 5 la surface 

 du rectangle construit sur cette base avec la hauteur H. 



La base B 2 , supposee commensurable avec la base B,, peut difierer aussi peu qu'on 

 voudra de la base B'. II est clair, d'ailleurs, que la surface A 2 converge vers A' a mesure 

 que B 2 se rapproche de B'. 



Cela pose, Ton sail que les rectangles de meme hauteur sont entre eux comme leurs 

 bases, lorsque ces bases sont commensurables. On a done 



A, B, 



A, " " B,' 

 ou, ce qui revient au meme, 



A' +- A, A' B' -+- B 2 B' 



A, ~~BT 



De la resulte 



A' B' /B, B'\ /A, A' 



A, B, \ B, } \ A, 



A' B' 



(2) 



Les rapporls ~, g- son l tous deux determines et constants, independammenl de toute 



