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20 DIFFERENCES PARTIELLES 



cette quantite. Car soil 



F x, y, z) = o (55) 



1'equation primitive, il sera facile de trouver la propriele qui caracterise 

 la fonction inconnue F. En effet, on a : 



'(IF\ tdF\ ldF\ ldF\ 



>dxl \dz / \<ly I \dz I 



par la on trouve, a la place de (52) : 



'dF\ ldF\ 



IX.-*- X, , d 



(34) 



X 3 \dz 



La differentielle totale de la fonction inconnue F etant 



ldF\ ldF\ ldF\ 



dF = dx -+- } dy + dz, 

 \dae) \dyj \dz) 



on trouve, en eliminant (^7) a 1'aide de (34) : 



X 3 dF= {^ [X, dx + X, dz] + (^) [X, dy + X, dz]. 



Mais , a cause des equations (B) , on a : 



X 3 cte -t- \ t dz = o, X 3 rfy H- X 3 rfz = o; ...... (35) 



on a done 



dF = o ............. (36) 



Cette propriete caracterise la nature de la fonction F, et pour la de- 

 terminer, resolvons les equations 



Xc, = o , Xc, = o , 



fournies par les equations (B), ou les equations (55), par rapport aux 

 constantes c, , c. 2 . On trouvera des expressions de cette forme 



c, = T, , c, = t, . . . .... (57) 



dans lesquelles \F 4 , 2 , designent des fonctions determinees de x, y et z. 

 Cela pose, il est clair que la fonction F sera une fonction arbilrairc 

 Q. des constantes c, = T, , c 2 = *F 2 , car en posant 



F = n (c,, cj = n ('I'',, f a ), 



