DU PREMIER ORDRE. 2i 



la relation (36) sera satisfaite. On a done, pour la relation primitive 



cherchee : 



F = n (Y,, Y.,) = o, 



qu'on peut aussi mettre sous 1'une de ces formes : 



(D) 



TROISIEME PROBLEME. 



fttant donnee I'equation 



u = F(x, y, v, z, p, q, r) = o. . (38) 



x, y, v designant les variables independantes, p, q, r les coefficients differen- 

 tiels de z, par rapport a x, y, v, trouver I'equation primitive de la forme 



F(x, y, v, z) = o (39) 



Solution. En supposant que (59) soil I'equation primitive, sa diffe- 

 rentielle sera 



dz = pdx +- qdy +- rdv; (-40) 



comme elle est supposee exacte, ses conditions d'integrabilite subsiste- 

 ront ; cherchons les conditions. On a : 



ldz\ ldz\ /dz 



P IT:). 9 = T- - r = 



d'ou: 



dp dq dp dr dq dr 



dy dx ' dy dx' dv dy 



mais a 1'aide des equations aux differences partielles : 



dp __ fdp\ lfy\ dp tdp\ Ulp 



dy " ' (dy) " q (dz) ' dv (dvl ' ' \d: 



d -l = p) ^ p ft) , etc. 

 dx \dxl \dzl 



les relations (4) deviennent : 



dp\ ldq\ ldp\ ldq\ 



I -t- q p = o . 



dy/ \dxl \dzl \dzl 



dr \ ... M} _ Q 



ldr\ ldq 



I 



\dyl \dv 



\dyl \dvl ' \dzl \dz 



ldr\ idp\ Idr 



5 s \T\ + P (T 



\dxj \dv] \dz 



