4 SUR LA THEORIE 



qui jouent un role tres-important dans la theorie des residus, pourront 

 se determiner au mo-yen d'une equation du a Kme degre, dont les coefficients 

 sont rationnels. Mais cette equation ne suffit pas pour determiner entie- 

 rement les quantites z,, z 2 ... , puisqu'on ne voit pas laquelle de ses 

 racines est egale a chacune de ces sommes. Cette determination parait 

 un des problemes les plus difficiles et les plus importants de la theorie 

 des nombres. II est aise de voir, en effet, que si Ton parvenait a deter- 

 miner la somme 



* 



en fonction de a, p et q, cette relation etablirait une reciprocite entre les 

 nombres p et q, d'ou Ton pourrait deduire toute la theorie des residus. 



Cette theorie depend done de la determination, ou plutot d'une trans- 

 formation de la somme 2^~* e ~ r^- 1 . On verra que cette transforma- 

 tion elle-meme peut etre ramenee a la solution d'un probleme de calcul 

 integral. 



En appliquant cette methode generale a la theorie des residus quadra- 

 tiques, dont je m'occuperai exclusivement dans ce memoire, je suis par- 

 venu a une relation tres-remarquable entre deux nombres entiers, et dont 

 les integrales de Gauss et la loi de reciprocite de Legendre decoulent 

 comme corollaires. 



Dans un memoire que j'ai eu 1'honneur de presenter a 1'Academie , j'ai 

 deduit d'une maniere fort simple la celebre formule de Gauss : 



" l/ ' 



cos. - - H- V \ sin. 



dans laquelle a,, a 2 , . . . a p _ 1 representent les residus quadratiques du 



2 



nombre premier p , de la formule 





