8 SUR LA THEORIE 



Designons maintenant par 



o,, a 2 , a 3 , ... ap_i, 



t 



les residus quadratiques du nombre premier p, par 



les non- residus, et examinons le cas ou q est residu de p. D'apres un 

 theoreme connu, le produit qa n est residu ou non residu du nombre p, 

 suivant que q lui-meme est residu ou non-residu; done, puisque 1 est 

 residu de tous les nombres premiers, on pourra determiner 1'integrale 

 du second membre en y supposant </= 1 ; ce second nombre devient alors 



\ _i_ I/ _ i 



__[! 

 On a done 1'equation 



ou , ce qui revient au meme , 



P ~ J 2?Ta M . - 



(3) ....... 1 +2 2 ^ e V-<= 



M = l 



d'ou Ton tire 



. . u 



cos. +i 1 sin. - == 1 + i 



/ - 

 \/p( 1)V 

 V 



Cette equation renferme les integrales de Gauss qui sont le fonde- 

 ment de tout ce qu'on sait sur les congruences du second degre. Le signe 

 du radical du second membre se trouve ici parfaitement determine. On 

 sait que la determination de ce signe a offert jusqu'ici de grandes diffi- 

 cultes et que Gauss et Dirichlet n'y sont parvenus que par des recher- 

 ches tres-profondes. 



