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On voit, au reste, que la normale Mm la surface s en un point quel- 

 conque M (I, -ri, ) infiniment voisin du point O concide en direction avec la 

 normale au parabolode osculateur reprsent par l'quation 



= i(r + fV5^) ou =(|h-^), 



en ngligeant les infiniment petits du deuxime ordre dans l'quation de la 

 normale. jj^ 



La considration de deux normales infiniment voisines conduit de la 

 manire la plus simple aux thormes sur la courbure des surfaces, qui 

 compltent ce qu'on peut dire sur la forme d'un petit faisceau de normales. 



En prenant, comme plus haut , pour axe des z la normale OZ au point O 

 d'une surface s, la normale M/n en un point M situ une distance infini- 

 ment petite du point O, et qui a pour coordonnes S, yj, , a pour quations 



X - ? + (r| + s-n) Z = o, 

 Y - y? + (.? + tr,) Z = o 



(en ne supposant pas encore .y = o). 



X En dsignant par y l'angle que le plan ZOM fait avec le plan ZOX, on a 



| = (?cos), Yj = s'msi. 



Le point M tant donn, la position de la normale en ce point sera dter- 

 mine , si l'on connat l'angle infiniment petit ^i que cette normale Mm fait 

 avec sa projection sur le plan ZOM et l'angle v que cette projection fait 

 avec OZ. Le premier angle est le complment (positif ou ngatif) de l'angle 

 que la normale Mm fait avec la perpendiculaire au plan ZOM mene par le 

 point M (dans l'angle MOX). Si l'on appelle c le cosinus de l'angle que la 

 normale Mm fait avec l'axe OZ, on aura, d'aprs les quations de cette 

 normale, pour les cosinus des angles qu'elle fait avec les trois axes OX , OY, 

 OZ, les valeurs 



c {r^ + Sri) , c {s% + tf]) et c , 

 ou 



ce? (r cos ip 4- .y sin ) , ce {s cos 9 -f- < sin y ) et c. 



La perpendiculaire au plan ZOM (mene dans l'angle MOX) fait avec les 



