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surface, et l'ont conduit des consquences remarquables. (Journal de 

 M. Liouville, tome IX, page i33) [*]. 



Si l'on prend l'axe OX suivant cette direction ON , y dsignera l'angle 

 que fait avec ON la direction quelconque OM, et il faudra qu'on ait fx = o 

 pour = o, ce qui donne ^ = o ; la valeur gnrale de pt, devient alors 



^i = ^(t r).sm2(p 



(r et t dsignant les valeurs de 5 -7-, pour le point O par rapport aux nou- 

 veaux axes). 



Il est donc prouv qu'on peut toujours mener par la normale OZ deux 

 plans perpendiculaires entre eux , tels qu'en prenant ces plans avec le plan 



d^z 



tangent XOY pour plans coordonns, on ait, pour le point O, s ou = o. 



Ces plans dterminent les deux sections principales de la surface s. 



lia projection de la normale quelconque Mm sur le plan ZOM fait 

 avec OZ un angle v dont la tangente est gale au cosinus de l'angle que la 

 direction Mm fait avec OM divis par le cosinus de l'angle que Mm fait 

 avec OZ ( car cette projection aurait pour quation 



X~? = (Z-)tangv, 



[*] M. Bertrand a dmontr (page 1 43) que pour que des droites dont la direction est donne 

 en fonction des coordonnes d'un quelconque de leurs points, soient normales une surface 

 (ou une srie de surfaces), il faut et il suffit qu'en prenant un point quelconque O dans 

 l'espace et la droite OZ correspondante ce point, puis portant perpendiculairement OZ 

 deux longueurs infiniment petites OM, OM', gales et perpendiculaires entre elles, la droite 

 correspondante au point M fasse avec le plan ZOM un angle gal celui que la droite corres- 

 pondante au point M' fait avec le plan ZOM'. 



J'ajouterai cette proposition la suivante , qui la comprend et la complte : 

 Si l'on considre un systme de lignes droites disposes dans l'espace suivant une loi ana- 

 lytique quelconque et qui ne puissent tre normales aucune surface, en prenant un point 

 quelconque O dans l'espace et la droite OZ correspondante ce point, puis portant perpen- 

 diculairement OZ deux longueurs infiniment petites OM, OM', gales et perpendiculaires 

 entre elles, les angles infiniment petits p et (/' que feront la droite correspondante au point M 

 avec le plan ZOM , et la droite correspondante au point M' avec le plan ZOM', auront leur 

 somme (algbrique) p -|- p' diffrente de zro et constante , quelles que soient les directions-- 

 des deux lignes OM, OM', pourvu qu'elles soient toujours gales, perpendiculaires l'une 

 l'autre et OZ au mme point 0. La somme p -f- p' est nulle dans le seul cas o les droites 

 du systme sont normales une mme surface. 



