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centre de l'indicatrice ou du point O sur sa normale au point M. li'intersection 

 du plan tangent la surface s au point M avec le plan tangent au point O 

 concide aussi avec cette mme direction, q^ui est celle du diamtre conjugu 

 de OM , le plan tangent en M ayant pour quation (quand ^ = o) 



Z - = rS(X - i) + <>3 (Y - /;). 



Il me reste faire voir comment, en considrant un faisceau de rayons 

 homognes qui, aprs avoir subi plusieurs rfractions, se trouvent normaux 

 une certaine surface, on peut dterminer, sur chaque rayon, les deux points 

 (ou foyers F et^) o il est rencontr par des rayons infiniment voisins, et les 

 deux plans qui contiennent ce rayon et les rayons infiniment voisins suscep- 

 tibles de le couper. Ces deux points, qui appartiennent la surface caustique 

 forme par les intersections successives des rayons, sont, pour le rayon con- 

 sidr , les centres du plus grand et du plus petit cercle de courbure de la 

 surface laquelle les rayons sont normaux. Les plans passant par les rayons 

 conscutifs qui se coupent sont ceux des sections principales de cette surface; 

 ce sont aussi les plans tangents aux deux sries de surfaces dveloppables se 

 coupant partout angles droits, dans lesquelles le faisceau se dcompose. 



)' J'ai dj trait cette question dans un Mmoire insr au Journal de 

 M. Liouville (numro de juillet i838). M. Bertrand tst parvenu, dans le nu- 

 mro d'avril i844 par une mthode gomtrique qui lui est propre, des 

 formules semblables aux miennes. Voici une nouvelle solution analytique qui 

 me parat assez simple et qui conduit des formules un peu plus gni'ales. 



Il faut d'abord remarquer que si des rayons sont normaux une mme 

 surface, ils sont aussi normaux toutes les surfaces en nombre infini qu'on 

 forme en portant sur ces rayons une longueur constante et arbitraire par- 

 tir de la surface normale primitive. 



)' Concevons un faisceau de rayons homognes normaux une surface s 

 et rfracts la rencontre d'une autre surface quelconque S suivant la loi 

 ordinaire. Les rayons rfracts seront aussi normaux une nouvelle surface s' 

 ou plutt une infinit de surfaces s' qu'on forme en prenant, sur la direction 

 de chaque rayon rfract partir de la surface de sparation S, une longueur 

 qui soit celle du rayon incident comprise entre S et .y , augmente ou dimi- 

 nue d'une quantit constante, dans le rapport constant du sinus de l'angle de 

 rfraction au sinus de l'angle d'incidence, (/^o/r mon Mmoire cit.) 



Considrons un rayon incident quelconque et le rayon rfract corres- 



