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ment que cette inconnue est une fonction continue des variables indpen- 

 dantes, attendu que la continuit d'une fonction dans le voisinage d'une 

 valeur particulire attribue une variable indpendante est une condition 

 ncessaire de l'existence d'une valeur correspondante de la drive. 



Toutefois, pour qu'un problme de physique, qui exige l'intgration de 

 certaines quations linaires, puisse tre compltement rsolu, il est nces- 

 saire de joindre aux quations dont il s'agit la connaissance de l'tat initial 

 des corps que l'on considre, et les conditions relatives aux limites de ces 

 mmes corps. Or cet tat initial et ces limites peuvent introduire dans le 

 calcul des fonctions discontinues. Ainsi, en particulier, si les quations pro- 

 poses reprsentent les vibrations infiniment petites d'un systme de mol- 

 cules rduites des points matriels, le mouvement pourra rsulter d'un 

 branlement initial primitivement circonscrit dans des limites trs-resserres. 

 Or il est clair que, dans ce cas, les dplacements des molcules et leurs vi- 

 tesses initiales, considrs comme fonctions des coordonnes, pourront varier 

 d'une manire continue entre les limites dont il s'agit, mais deviendront 

 gnralement discontinues quand on atteindra ces limites, qu'on ne pourra 

 dpasser sans que les mmes fonctions passent tout coup d'une valeur 

 sensible une valeur nulle. 



" Les fonctions discontinues, ainsi introduites dans le calcul par la con- 

 sidration de l'tat initial d'un systme de points matriels, se retrouvent 

 dans les intgrales des quations qui reprsentent le mouvement du systme. 

 Seulement les variables indpendantes que contenaient ces fonctions y sont 

 remplaces par de nouvelles quantits variables, quelquefois mme par des 

 expressions imaginaires. De plus, il peut arriver que les intgrales obtenues 

 soient exprimes, non en termes finis, mais en sries qui renferment, avec 

 les fonctions discontinues , leurs drives des diffrents ordres. 



" Eu gard ces diverses circonstances, les fonctions discontinues don- 

 nent naissance, dans les problmes de mcanique et de physique, des 

 difficults graves ou des contradictions apparentes et de singuliers pa- 

 radoxes quil importe de signaler et d'claircir. Entrons ce sujet dans quel- 

 ques dtails. 



" Une premire difficult est de savoir ce que devient une fonction dis- 

 continue de variables relles, qui s'vanouit hors de certaines limites, 

 quand ces variables sont remplaces par des expressions imaginaires, et 

 surtout ce que deviennent alors les limites dont il s'agit. 



Une seconde difficult rside dans la contradiction apparente qui 

 existe, pour l'ordinaire, entre les intgrales exprimes en termes finis 



