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 quand elles renferment des fonctions discontinues, et les dveloppements de 

 ces mmes intgrales en sries convergentes. 



Concevons, pour fixer les ides, qu'il s'agisse d'une colonne d'air ren- 

 ferme dans un cylindre infiniment troit dont l'axe soit pris pour axe des 

 abscisses, et que le mouvement soit occasionn par un dplacement primi- 

 tif et infiniment petit des molcules situes dans le voisinage du point pris 

 pour origine. Alors, au bout du temps t, le dplacement d'une molcule 

 d'air correspondante l'abscisse x sera reprsent par l'intgrale de l'qua- 

 tion linaire que l'on nomme quation du son; et l'on conclura de cette in- 

 tgrale exprime en termes finis que le mouvement se propage, dans la 

 colonne d'air, de part et d'autre de l'origine, avec deux vitesses de propa- 

 gation gales entre elles, mais diriges en sens opposs. Ajoutons que, si l'on 

 dveloppe la mme intgrale suivant les puissances ascendantes de t, on 

 obtiendra une intgrale en srie qui paratra satisfaire encore toutes les 

 donnes du problme, et qui nanmoins entranera des conclusions contraires 

 celles (|ue nous venons d'noncer. En effet, dans l'intgrale en srie, 

 chacune des puissances de t se trouvera multiplie par une fonction de a?, 

 qui s'vanouira pour toute valeur de x sensiblement diffrente de zro: par 

 consquent, la somme de la srie s'vanouira au bout du temps t, comme 

 au premier instant, pour tout point situ une distance notable de l'origine; 

 d'o il semblera lgitime de conclure que les molcules d'air primitivement 

 dplaces vibreront, mais sans que leur mouvement de vibration se pro- 

 page en passant de ces molcules d'autres. Ainsi, tandis que l'intgrale en 

 termes finis indique des vibrations sonores qui se propagent avec une vi- 

 tesse constante, l'intgrale en srie semble indiquer des vibrations station- 

 naires. 



Les difficults que nous venons de signaler, et toutes les difficults 

 analogues disparatraient, si l'tat initial d'un systme tait reprsent, non 

 plus l'aide d'une ou de plusieurs fonctions discontinues, mais l'aide de 

 fonctions continues dont chacune offrt, pour des valeurs quelconques, 

 relles ou mme imaginaires des variables indpendantes, une valeur diff- 

 rente de zro. C'est donc la discontinuit des fonctions introduites dans le 

 calcul que tiennent les difficults dont il s'agit. Il est naturel d'en conclure 

 que, pour claircir les points douteux, et pour faire cesser les contradic- 

 tions, il suffira de rtablir la continuit. On y parvient en considrant les 

 fonctions discontinues comme des valeurs particulires de fonctions plus 

 gnrales, mais continues, desquelles on les tire en rduisante zro un pa- 

 ramtre spcial. 



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