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Il importe d'observer que les fonctions discontinues introduites dans le 

 calcul par la considration de l'tat initial d'un systme, ne cessent gnrale- 

 ment d'tre continues que pour certaines valeurs des variables qu'elles ren- 

 ferment. Ainsi, par exemple, il arrive souvent qu'une fonction discontinue 

 d'une ou de plusieurs variables se confond entre des limites donnes de ces 

 variables avec une certaine fonction continue, et passe brusquement, hors de 

 ces limites, d'une valeur sensible une valeur nulle. Il y a plus : une fonction 

 discontinue qui ne satisfait pas de telles conditions , peut ordinairement se 

 partager en plusieurs autres qui remplissent des conditions analogues; et, par 

 suite, on peut se borner tablir la thorie des fonctions discontinues dans 

 le cas particulier que nous venons d'indiquer. Ajoutons que , dans ce cas , la 

 fonction discontinue peut tre considre comme quivalente au produit de 

 la fonction continue donne par un coefficient qui se rduise toujours 

 l'unit entre les limites proposes, et zro en dehors de ces limites. Ce 

 coefficient, que j'appellerai limitateur, peut tre regard lui-mme, ou 

 comme une fonction discontinue , ou comme la valeur particulire que prend 

 une fonction continue quand on fait vanouir un paramtre spcial. En con- 

 squence , il suffira de considrer les coefficients limitateurs non-seulement 

 pour retrouver, mais aussi pour rsoudre toutes les difficults que prsente 

 la thorie des fonctions discontinues. On conoit d'ailleurs que cette consi- 

 dration permet de surmonter plus aisment les obstacles , en dbarrassant 

 les questions relatives la discontinuit d'une circonstance qui leur est tran- 

 gre, savoir, de la forme particulire attribue chaque fonction discon- 

 tinue entre des limites donnes, et en attirant l'attention du calculateur sur 

 un coefficient qui suffit caractriser ces limites au del desquelles cesse la 

 continuit. En oprant ainsi, on tablit sans peine les proprits des fonc- 

 tions discontinues , considres comme reprsentant des valeurs particulires 

 de fonctions plus gnrales , mais continues ; et l'on arrive , par exemple , aux 

 propositions que nous allons noncer. 



i" Thorme. Si une fonction discontinue de la variable x s'vanouit 

 pour des valeurs relles de cette variable situes hors de limites donnes a, b, 

 la mme fonction, quand la variable x deviendra imaginaii^e, s'vanouira 

 toutes les fois que la partie relle de x sera situe hors de ces limites. 



2* Thorme. Si une fonction discontinue de plusieurs variables ind- 

 pendantes X, f, Zf. . ., s'vanouit pour des valeurs relles de ces variables 

 situes hors de certaines limites donnes et constantes, la mme fonction, 

 quand les variables deviendront imaginaires, s'vanouira toutes les fois que 

 leurs parties relles seront situes hors de ces limites. 



