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peut toujours tre dveloppe en une srie convergente ordonne suivant les 

 fonctions Y: l'importance de cette proposition s'aperoit immdiatement; 

 Poisson , qui s'en tait servi dans un grand nombre de problmes de mca- 

 nique et de physique mathmatique, en a cherch la dmonstration plu- 

 sieurs reprises diffrentes, mais il n'a pas russi d'une manire complte. 

 C'est M. Lejeune-Dirichlet que l'on doit la premire et, je crois, l'unique 

 dmonstration entirement rigoureuse de ce thorme. J'ai trouv une se- 

 conde dmonstration, trs-diffrente de celle de M. Dirichlet, en cherchant 

 complter celle de Poisson; elle est aussi simple et, je crois, plus directe 

 que celle de l'habile gomtre allemand: dans tous les cas, j'espre qu'elle 

 sera accueillie avec quelque intrt par les gomtres, qui savent combien il 

 est important de traiter les questions difficiles sous plusieurs points de vue 

 diffrents. 



ANALYSE MATHMATIQUE. Nouvelle mthode pour trouver les conditions 



d'intgrabilit des Jonctions di^rentielles ; par M. J. Bertrand. 

 Ci (Commissaires, MM. Poinsot, Sturm.) 



La question d'analyse qui fait l'objet de ce Mmoire a t traite par 

 un grand nombre de gomtres. Euler, Condorcet, Lexell, Lagrange, 

 Poisson s'en sont successivement occups, et plus rcemment MM. Sarrus 

 et Joachimstahl y ont consacr des Mmoires intressants. Moi-mme, dans 

 un premier Mmoire (|ui fait partie du tome XVII du Journal de l'Ecole 

 Polytechnique, j'ai essay de simplifier ces recherches en donnant une d- 

 monstration extrmement simple de la formule lgante d'Euler. J'ai , de plus, 

 indiqu, pour effectuer l'intgration quand elle est possible, deux mthodes, 

 dont l'une conduit la formule dj trouve par M. Poisson. 



)i La plupart des travaux que je viens de citer semblent avoir pour but 

 principal la dmonstration simple de la formule d'Euler. Ils doivent peut- 

 tre en partie leur origine une erreur propage par Lagrange et Poisson, 

 qui croyaient qu'Euler n'avait pas donn une dmonstration complte de sa 

 formule. Cette dmonstration est cependant insre, comme je l'ai fait 

 voir, dans son Trait du Calcul intgral, et surpasse en simplicit toutes 

 celles qui ont t proposes depuis. Mais cette condition d'intgrabilit dont 

 la dmonstration a t donne tant de fois, est, on doit le dire, malgr sa 

 forme lgante, d'une application fort pnible. Il faut excuter, pour en 

 faire usage, un grand nombre de diffrentiations, et, quand elle est satis- 

 faite, ce sont des oprations toutes nouvelles qui font connatre l'intgrale 

 dont l'existence a t dmontre. 



