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que M. Bertrand a soumis au jugement de l'Acadmie une mthode nouvelle 

 pour trouver les conditions d'intgrabilit d'une fonction diffrentielle. De- 

 puis plusieurs annes je donne, dans mes cours, une mthode qui doit tre 

 peu prs la mme, et qui est assez simple pour pouvoir tre insre ici. 



Thorie prliminaire. Nous dsignerons par x, j, z,. , des va- 

 riables quelconques, mais dont aucune diffrentielle ne doit tre regarde 

 comme constante. 



Nous dsignerons par L, M, N, . . . , U, 'V^, des fonctions quelconques 

 des variables prcdentes et de leurs diffrentielles des diffrents ordres 



jfisques et y compris d"'x, d"j. dz, ; mais aucune de ces fonctions ne 



devra renfermer de diffrentielles d'un ordre plus lev. 



Celles des fonctions L, M, . . ., qui renfermeront d'"x, seront dites de 

 l'ordre m par rapport x. U en sera de mme par rapport aux autres 

 variables. 



Si une des fonctions ci-dessus renferme d'"j, et qu'une- autre fonction 

 ne renferme que des diffrentielles de j- d'un ordre infrieur, nous dirons 

 que cette dernire fonction est, par rapport j, d'un ordre moins lev 

 que la premire; il en sera de mme s'il s'agit d'une sutre variable. 



Nous emploierons la caractristique c?pour exprimer les drives par- 

 tielles des fonctions prcdrtiies, de telle sorte que 



dV dV dV dXJ d\J 

 dx ddx dd^x dd^jr dd*z 



exprimeront les drives partielles de la fonction U par rapport aux va- 

 riables X, dx, d^x, d^j, d*z, . . ., comme si ces variables taient entire- 

 ment indpendantes. Cela pos : 



Si l'on diffrentie la fonction U, on trouvera un rsultat de la forme 



d\] = V + ^d'"-*x + 4^d"*'f^-^d'>-'z-^..., 



dd^x dd'^y -^ ddz 



et uous en conclurons que : 



. A. Une diffrentielle exacte ne peut renfermer que la premire puis- 

 sance des diffrentielles des variables composantes qui sont dans l'ordre le 

 plus lev ; elle ne peut pas renfermer de produits de ces mmes dift- 

 rentielles. 



Maintenant, si nous reprsentons par W une fonction de la forme 



W = L + MJ"'^' X + N^-^' j + Of/o-*-' z 4-. . . , 



