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nous aurons identiquement 



W - rfU = (L - V) 



et nous en conclurons que : 



B. Pour faire disparatre la diffrentielle d'"'*'* de la fonction W dV , 

 il suffira de dterminer U au moyen de l'quation aux drives partielles 



= M. 



dd^x 



D'ailleurs cette diffrence W d\J restera tout au plus du mme ordre 

 que W par rapport aux variables diffrentes de jc. 



" Il est vident que l'on aurait pu faire disparatre une quelconque des 

 diffrentielles d"-*-*j, d'^-^*z, . . ., au lieu de d'"-^*x. 



Problme. tant donne une fonction diffrentielle quelconque W, 

 trouver si elle est une diffrentielle exacte, et, s'il y a lieu, trouver en mme 

 temps son intgrale. 



" Solution. 1. On vrifiera si elle satisfait la condition A ; si cela 

 n'est pas, la fonction W ne peut pas tre une diffrentielle exacte. 



2. Si la fonction W satisfait la condition A, elle sera ncessairement 

 de la forme W = h -bMd'"-^'a: + ^d"-''j -{- Od-^' z -h. . . . Alors: 



" 3. On cherchera, par le procd B, une fonction- U, telle, que la dif- 

 frence W dUf soit d'un ordre infrieur celui de W par rapport une 

 des variables composantes, sans devenir d'un ordre suprieur par rapport 

 aux autres variables. 



4- On recommencera d'oprer avec cette nouvelle fonction W dU, 

 comme il vient d'tre dit. Et, si elle satisfait la condition A, on trouvera 

 une nouvelle fonction Ua telle, que la diffrence W dU, dlJ^ soit de 

 nouveau d'un ordre infrieur celui de W d\j, par rapport une quel- 

 conque des variables composantes, sans devenir d'un ordre plus lev par 

 rapport aux autres variables. 



5. On continuera de la mme manire, jusqu' ce qu'on parvienne 

 un reste nul ou impropre satisfaire la condition A. 



6. Si le dernier reste est nul , on aura 



. O =W ~ du, - du. -dU, -...,- 



