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Quoique les expressions qui se dduisent des rgles employes par Nipsus 

 soient exactes, et d'une application trs-gnrale, la fixit de leur forme est 

 trop absolue pour embrasser toute l'tendue de l'indtermination que les deux 

 inconnues du problme comportent. Ce problme est un des plus faciles de 

 la thorie des nombres, et un de ceux qui ont t les premiers rsolus. En 

 lui appliquant la mthode de dcomposition en facteurs rationnels du premier 

 degr, que Diophante emploie pour une question analogue dans la propo- 

 sition XXXII du livre I" de son ouvrage, on est immdiatement conduit aux 

 expressions gnrales devenues aujourd'hui lmentaires, et qui sont spciale- 

 ment exposes au chapitre IV du tome II de l'Algbre d'EuIer. 



Cherchons, en effet, par cette voie, la solution de l'quation du second 

 degr, qui reprsente l'nonc du problme de Nipsus, 



X^-J = S; 



O z est donn, et entier. 



" La fonction x* J^ qu'il faut transformer en un carr, tant dcom- 

 posable en deux facteurs rationnels du premier degr x + j^x j, faisons , 

 l'imitation de Diophante, 



il en rsultera 



.x-=^(S + D); j = i(S-D);. SD = z^ 



X etjf devant tre entiers, S et D seront aussi entiers; et tous deux pairs, 

 ou tous deux impairs. En leur conservant. ces caractres, il ne reste plus qu' 

 les assujettir la condition donne 



n i" cas. Soit z impair; z* sera impair, et, par suite, S, D devront l'tre 

 galement. Dsignons alors par f, J,, J^,. ..,/, tous les facteurs premiers 

 de z, autres que l'unit, en les supposant rangs par ordre de grandeur, le 



brique par M. Libri , au tome P' de son Histoire des Mathmatiques en Italie, page 44 > 

 dition de i835, et page 207,- dition de i838. Mais dans ces expressions, d'ailleurs exactes, 

 il n'a pas mentionn l'appropriation intentionnelle , et exclusive , des rgles pythagoriciennes 

 aux nombres impairs, des platoniciennes aux nombres pairs, pris comme donnes, pour 

 former un des cts de l'angle droit. Cette remarque et t peut-tre inutile au but que 

 M. Libri se proposait; tandis qu'elle me devenait ncessaire pour rattacher les rgles de 

 Nipsus leur origine. Ce rapprochement sera expos avec plus de dtail dans le Journal des 

 Savants, cahier de mai 1849 



