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 La rgle gnrale pour rsoudre l'quation du second degr 



X' j^ ^ s* 



on nombres entiers x et j', peut tre nonce d'une manire prcise dans 

 les termes suivants, qui portent, pour ainsi dire avec eux, la rgle et la 

 dmonstration. 



Partagez le carr donn z^ en deux facteurs p et q tous deux impairs 

 et premiers entre eux, ou tous deux pairs, mais sans autre commun divi- 

 seur que 1. 



>' Faites alors 



^^/ilLi et r = ^^, 



et vous aurez sur-le-champ deux nombres entiers x et j qui rsolvent la 

 propose. 



11 D'oi l'on voit qu'il y a autant de solutions diffrentes qu'il y a de ma- 

 nires de dcomposer z^ en deux facteurs p et q tels qu'n vient de les 

 dfinir. 



" La solution particulire de l'ancien auteur Nipsus rpond au cas o 

 l'on partage z^ (quand il est impair), dans les deux facteurs i et z^; et (quand 



il est pair), dans les deux facteurs 2 et- , qui n'ont d'autre commun divi- 



seur que 2. 



Mais il y a sur ce point une proposition plus gnrale que la prcdente : 

 c'est que, non-seulement un carr, mais un nombre quelconque N, except 

 le double d'un impair, peut toujours tre reprsent par la diffrence de 

 deux carrs, et cela, d'autant de manires qu'il y a de manires de partager 

 ce nombre IS en deux facteurs p et q jouissant de la proprit nonce plus 

 haut. Si, pour les nombres N qui sont des carrs, le thorme ne souffre 

 aucune exception, c'est qu'il n'y a pas de carr qui puisse tre le double 

 d'un impair. 



" Quant au nombre n qui marque de combien de manires on peut dcom- 

 poser un nombre donn N en deux facteurs premiers entre eux, il dpend 

 uniquement du nombre des facteurs simples qui entrent dans la composition 

 de N. Et si k dsigne le nombre de ces facteurs simples, le nombre demand 

 Ji est exprim par n ='2''"'. ' 



11 Au sujet de ces questions sur les carrs, je donnerai ici un thorme 

 nouveau qui peut intresser la science des nombres. 



>i Si l'on considre une de ces quations entre trois carrs a.^, j", z-, 



