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se couperont, c'est--dire lorsqu'on aura a < r. Si a devient snprieur r, 

 les valeurs imaginaires 



(6) x = o, f =(a*-r*fi, 



qui sont censes vrifier les quations (4), satisferont en ralit aux sui- 

 vantes : 



(^-rt) 2 +j 2 =r 2 +(rt 2 -r*)(i + / ), (J7+a) 2 +j 2 =r 2 +(a 2 r 2 )(i-4-i a ); 



et ces dernires reprsenteront , quel que soit j, deux cercles qui se cou- 

 peront suivant la droite reprsente par l'quation (i). 



thorie des nombres. Mmoire sur diverses propositions relatives la 

 thorie des nombres ; par M. Augustin Cauchy. 



La thorie des indices modulaires ne fournit pas seulement divers 

 moyens de dcomposer les nombres entiers en facteurs radicaux , elle permet 

 encore d'tablir avec facilit un grand nombre de propositions qui paraissent 

 propres intresser les gomtres, et qui , jointes plusieurs autres , peuvent 

 tre utilement employes pour la dmonstration du dernier thorme de 

 Fermt. Afin de ne point dpasser les bornes prescrites aux articles qui 

 doivent tre insrs dans les Comptes rendus, je me bornerai aujourd'hui 

 donner une ide de ces diverses propositions, en nonant celles qui semblent 

 mriter d'tre particulirement remarques. 



i er Thorme. Soit, comme nous l'admettrons gnralement ici, n un 

 nombre premier impair. Soit encore p une racine primitive de l'quation 



(i) x"=i, 



et nommons f (p) un polynme radical coefficients entiers , form avec les 

 puissances de p. Si f (p) est divisible par 1 p, on aura 



(2) f(i) = o (mod. n); 



et rciproquement, si cette dernire condition est satisfaite, f (p)seva divi- 

 sible par 1 p. 



2 e Thorme. Supposons le polynme radical f (p) dcomposable en 

 deux facteurs de mme espce <p(p), % [p), en sorte qu'on ait 



(3) HP) = ?(P)X(P)- 



Si i(p) est divisible par {ip)'f, /tant un nombre entier quelconque, 



