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thorie des nombres. Mmoire sur diverses propositions relatives la 

 thorie des nombres (suite); par M. Augustin Cauchy. 



Les propositions nonces dans le prcdent article , et les formules 

 qu'il contient, sont relatives au cas o le nombre dsign par la lettre n est 

 un nombre premier impair. Mais on peut gnraliser encore ces formules , 

 et en particulier celles qui se rapportent la rsolution d'une classe trs- 

 tendue d'quations linaires. 



Effectivement, supposons que, n tant un nombre entier quelconque, 

 on se propose de rsoudre les formules (24) de la page 181. Pour obtenir la 

 valeur de l'une quelconque des inconnues, de x par exemple, il suffira 

 videmment de combiner entre elles, par voie d'addition, ces mmes for- 

 mules, respectivement multiplies par certains facteurs 



o> Si 1 1 /i ) 



ces facteurs tant assujettis vrifier les conditions 



(0 ( 



\ n-llo + 0?t 4-...+ -2^n-i = O, 



dans lesquelles w peut tre un nombre quelconque arbitrairement choisi. 

 Or soit p une racine primitive de l'quation 



(2) ar"=i. 



fies conditions (1) entraneront avec elles la formule 



(3) o) = (a + fl )| 9 + ...-(-a_ 1 /3"- , )(io + l,p~' + + ?-. p~" +< ) , 



et mme cette dernire formule continuera de subsister, quand on y rem- 

 placera p par l'une quelconque des puissances de p , c'est--dire , en d'autres 

 termes, par lune quelconque des racines de l'quation (2). Rciproquement , 

 si la formule (3) subsiste quand on y remplace p par une quelconque des 

 racines de l'quation (2), alors les facteurs 



Soi >i 1 > ?n-i 



satisferont certainement aux conditions (1). D'ailleurs, s l'on pose, pour 

 abrger, 



(4) f(p) = a -h a,p -h ... + a n _ t p"-', 

 la formule (3) donnera 



