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dans lesquels peut tre un nombre entier quelconque arbitrairement choisi. 

 Or soit p une racine primitive de lequation 



(4) _ *""=' 



Les conditions (3) entraneront avec elles la formule 



(5) u = {a +a t p-ha iP 2 -h...-ha n _ tP n - , )( -h,p- i -h iP - 2 -h. .. + &_, fT~ H ), 



et mme cette dernire formule continuera de subsister, quand on y rem- 

 placera p par l'une quelconque des puissances impaires de p, c'est--dire, en 

 d'autres termes, par l'une quelconque des racines de l'quation 



(6) x = _ u 



Rciproquement, si la formule (5) subsiste quand on y remplace p par l'une 

 quelconque des racines de l'quation (6), alors les facteurs , if,, ,,..., _, 

 satisferont certainement aux conditions (3). D'ailleurs, si l'on pose, pour 

 abrger, f (p) = a + a t p + a t p 2 + . . ,-f- a n _, p"-' , la formule (5) donnera 



(?) lo + 1. r + 1 r a -+- + -. r" +< = ^ ; 



et si, dans cette dernire, on remplace p par js" 1 , m tant un nombre impair 

 quelconque, on aura 



(8) ?o + ? ) r n + ^r 2w + -t-^-<r (n - ,,m = f -(^)'' 



puis on en conclura 



/ tant l'un quelconque des entiers infrieurs n , et le signe ^ indiquant 



la somme des valeurs du produit ^- p ml , correspondantes aux diverses va- 

 leurs impaires de m comprises dans la suite i , 3, 5., . .. , a n i. 



Les valeurs de , \ { , a , . . . , \ n _ K fournies par l'quation (9) satis- 

 font, quel que soit w, aux conditions (3) ; et, par suite , s'il s'agit seulement 

 de rsoudre les quations (a), on pourra prendre w = 1. Mais, dans certains 

 problmes, les valeurs des inconnues doivent tre entires, et l'on peut de- 

 mander, par exemple , de vrifier les formules (3) par des valeurs entires de 

 5o ?2 , ?n-n w - Oc il rsulte du thorme nonc au commence- 

 ment de cet article, que , pour satisfaire cette dernire condition, il suffira 



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