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MMOIRES PRSENTS. 



mathmatiques. Sur les coefficients dans le dveloppement du produit 

 r . ( i -+- x) ( i -+- i x) . . . [ i -+- [n i ) x] suivant les puissances ascendantes 

 de x. Note sur des questions gomtriques; par M. Schlai li. (Extrait 

 par l'auteur.) 



(Commissaires, MM. Cauchy, Liouville, Binet.) 



Le premier Mmoire, purement analytique, a pour objet la formation 

 indpendante des coefficients dans le produit 



i . (i + x) (i -+- i x) . . . [ i -+-( i)x] 



dvelopp; l'autre, gomtrique, se rapporte presque en entier la thorie 

 des surfaces du second ordre homofocales, rcemment enrichie parles beaux 

 travaux de MM. Liouville et Chasles, et dont l'tude m'a conduit quelques 

 observations qui sont peut-tre nouvelles. 



Dans le premier Mmoire, je parviens reprsenter le coefficient "A, 

 de la puissance x' par une somme finie quadruple, qui dpend, il est vrai , 

 en dernire analyse, de polynmes entiers composs de termes en 



'('-TrH'-iri)- 



V 1 



dont le dveloppement fait paratre des fonctions combinatoires des frac- 

 tions de la srie naturelle, et, par cela mme, transcendantes; cependant la 

 marche que j'ai suivie offre des rsultats assez curieux. Continue toujours 

 de la mme manire, elle conduit d'abord une somme sextuple, et il faut 

 un examen spcial de certaines fonctions combinatoires des fractions natu- 

 relles pour la rduire autant qu'il est possible. Ces fonctions jouissent, en 

 outre, de proprits trs-remarquables, dont les dmonstrations me semblent 

 n'tre pas sans intrt. 



Voici les rsultats exposs dans le second Mmoire: 



i & . Je donne d'abord une dmonstration analytique simple de l'quation 

 diffrentielle du premier ordre, appartenant la ligne godsique sur un 

 ellipsode quelconque , dmonstration qui provient presque immdiatement 

 d'une reprsentation convenable de l'lment d'une courbe quelconque trace 

 sr l'ellipsode, et que je m'tonne de n ? avoir pas encore rencontre jus- 

 qu'ici dans aucun des Mmoires qui ont trait sur ce sujet. 



a . La considration des trois cordes qu'interceptent trois surfaces ho- 



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