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Alors le cercle est oscillateur de la courbe primitive ainsi que de la 

 parabole. Aucun autre cercle ne pourrait passer entre le premier cercle 

 et cette courbe, partir du point de contact. 



Pour des arcs de trs-peu d'tendue, le cercle osculateur est donc par- 

 faitement propre reprsenter, dans la courbure et dans la forme des 

 lignes courbes, tout ce qu'elles ont de rgulier, de symtrique par rapport 

 la flcbe. 



Mais lorsqu'il s'agit d'arcs qui n'ont pas de symtrie par rapport leur 

 flche; lorsqu'il s'agit d'arcs plus courbs d'un ct, et moins de l'autre, 

 videmment le cercle qui passe par les extrmits de la corde et de la flche 

 ne suffit plus; il n'est pas mme tangent la courbe dont on s'occupe, au 

 sommet qui leur est commun. La parabole ayant mme corde et mme 

 flche n'y suffit pas davantage. 



Dans ce cas, il est ncessaire de recourir des courbes auxiliaires 

 d un ordre plus lev. Les courbes du troisime ordre peuvent satisfaire aux 

 conditions de non-symtrie que nous voulons examiner. 



Imaginons une courbe parabolique du troisime ordre reprsente par 

 l'quation gnrale 



(i) V = M + NX + PX 2 + QX 3 . 



Demandons-nous comment un arc de cette courbe peut satisfaire aux deux 

 conditions d'avoir: i sur l'axe des ordonnes, une flche d'une longueur 

 dtermine; i de couper l'axe des abscisses en deux points quidistants 

 de l'origine. 



Lorsque x = o , y = M ; M doit donc tre gale la longueur de la 

 flche; lorsque x devient tour tour + c et c, la demi-corde tant c, 

 on a simultanment 



o = M + Ne + Pc 2 + Qc 3 , 



o = M-Nc + Pc 2 -Qc 3 . 

 De l nous tirons 



M N 



M + Pc 2 es o et - N - Qc 2 = o, d'o P = - -, , Q = - - 



Remplaons, dans l'quation (i), P et Q par ces valeurs, et nous 

 aurons 



(a) Y = M + NX-^X 2 -^X 3 , ou Y = (M + NX) ( , - ). 

 Cette nouvelle quation est remarquable; elle va nous donner avec une 



