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Par consquent, aux deux extrmits de la corde ic, la somme des 

 tangentes pour la parabole auxiliaire est prcisment gale la somme des 

 tangentes pour la courbe du troisime ordre. La diffrence en plus d'un 

 ct, en moins de l'autre, est gale N. Ces rsultats sont d'une extrme 

 simplicit. 



>' Des sous-tangentes prises sur l'axe des y. Appelant y et | les coor- 

 donnes d'une tangente de la courbe du troisime ordre, nous aurons : 

 i. Pour la tangente qui passe par l'extrmit de la demi-corde + c, 



' U = -a(+N)(|- C ). 



En y faisant | = o, y devient la sous-tangente mesure sur l'axe des y. 

 Alors 



y = - (" + NJ(-c) = aM + 2 Nc. 



2. Pour la tangente qui passe par l'extrmit de la demi-corde e, 



y=+,(^-N)(i:+c); 



et la sous-tangente mesure sur l'axe des y sera 



y = 2 H - n) C = 2 M - 2 Ne. 



Afin que l'on comprenne mieux les deux valeurs que nous venons de dter- 

 miner, reprenons l'quation de la ligne droite (4) qui passe par le joyer 

 des dviations et par le sommet de la courbe du troisime ordre 



(3) Y' = M + NX. 



Lorsque nous supposerons X = c, elle deviendra Y' = M + Ne ; d'o 



Y' - M = -4- Ne. 



n La longueur Ne double est prcisment la quantit qu'il faut porter: 

 i au-dessus de 2 M pour avoir, sur l'axe des y, la sous-tangente de la courbe 

 du troisime ordre, partie de l'extrmit de la corde -f-e; 2 en dessous 

 de 2 M , pour avoir la sous-tangente partie de l'extrmit de la corde c. 



Nous connaissons dj trois tangentes importantes de l'arc du troisime 

 ordre; il en est une quatrime essentielle considrer : c'est la tangente 



parallle l'axe des x. Pour cette ligne, =o. 



