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On comprendra toute la gnralit de ces thormes, en considrant 

 qu'ils ont lieu pour une surface quelconque : car toute surface est comprise 

 dans une infinit de systmes orthogonaux, et entre autres dans celui qui 

 contient les surfaces dveloppables construites par ses normales. 



Lorsque la surface fait partie d'un systme orthogonal du second degr, 

 les fonctions primitives algbriques donnent des vrifications faciles de nos 

 thormes; et si les fonctions primitives sont transcendantes, on est conduit 

 des relations gnrales entre des transcendantes elliptiques, abliennes, et 

 autres. 



La Note qui accompagne cet expos contient l'nonc mathmatique 

 et complet des thormes que j'ai trouvs, une vrification algbrique, et 

 une application des fonctions transcendantes. 



Rsum mathmatique, 



1. Soient r, r { , r 2 les paramtres des surfaces orthogonales; h, h K1 h 2 

 les fonctions qui reprsentent leurs paramtres diffrentiels du premier 

 ordre. Le Mmoire sur les coordonnes curvilignes, insr au tome V du 

 Journal de Mathmatiques de M. Liou ville, donne la dfinition et les pro- 

 prits de ces fonctions. Considrons une des surfaces au paramtre a - ; les 

 coordonnes r, et r 2 varient seules sur cette surface. J'appelle Jonction 

 primitive toute intgrale de l'quation 



. . c/ 2 i rfA, d<f i dhi df 



- ' dr, dr, h, dr, dr, A, dr, dr, ' 



que je dsignerai par le symbole D (<p) = o. Par exemple , il rsulte du M- 

 moire cit que D (-A = o, et que D(,r) = o, x tant la dislance d'un point 

 d la surface r un plan fixe quelconque. En outre , si D (<p) = o , on a 



et comme l'quation (i) est linaire, on aura aussi, les surfaces r, et r 2 tant 

 orthogonales , 



dx dr dy dz dz\ 



-T--T+ 1J-) = - 

 dr x dr % dr { dr-. 



D [(x - x f + (jr - Jo y + (z - z Y] = a ( | 



x, y, z sont les coordonnes rectilignes d'un point de la surface r; x 0} y , z, 

 celles d'un point fixe. 



