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sont occups diverses reprises de questions analogues; la lecture de leurs 

 intressants Mmoires m'a conduit examiner de nouveau le problme de 

 la reprsentation de la premire transcendante , que j'avais abandonn de- 

 puis longtemps, et dont la solution gnrale, si elle tait possible, ne me 

 semblait pouvoir tre due qu'au hasard. 



La premire ide des recherches nouvelles auxquelles je me suis livr, 

 et que j'ai l'honneur de prsenter aujourd'hui l'Acadmie, m'a t sug- 

 gre par une proprit de la lemniscate laquelle je n'avais pas d'abord 

 attach une grande importance, et qui pourtant parat tre la seule suscep- 

 tible d'une gnralisation favorable. Cette proprit de la lemniscate consiste 

 en ce que ses coordonnes rectangulaires sont exprimables' en fonction ra- 

 tionnelle de l'amplitude de son arc ; on peut la vrifier l'instant mme r 

 car l'quation 



(x 2 +- y 2 ) 2 -xa 2 (x 2 y 2 ) = o, 



qui appartient la lemniscate , est videmment satisfaite en posant 



rj + z 1 r z z% 



x = ayi .> r=aJd ; p 



I -)- Z 4 J ' I -f-z 4 



d'o l'on dduit aisment 



dz 



\/dx 2 +- dy 2 = 2< , . 



\Ji+z' 



Celte observation m'a conduit naturellement chercher les solutions relles 

 et rationnelles fie l'quation 



dx 2 -t- dy 2 as Zdz 2 \ 



dans laquelle Z reprsente une fonction rationnelle de z. La solution 

 gnrale de ce problme d'analyse indtermine est le but principal du 

 Mmoire que j'ai l'honneur de prsenter l'Acadmie; elle fera connatre 

 en particulier, parmi les courbes algbriques dont l'arc peut tre reprsent 

 par une fonction elliptique de premire espce, foutes celles dont les coor- 

 donnes rectangulaires sont des fonctions rationnelles de l'amplitude , et l'on 

 verra que le nombre de ces courbes est illimit. 



n Je me bornerai, dans cet extrait, indiquer quelques-uns des rsul- 

 tats auxquels je suis parvenu. 



Il existe une infinit de courbes algbriques dont les arcs sont identi- 

 quement reprsents par des fonctions elliptiques de premire espce, fies 



