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gomtrie. De quelques proprits des arcs gaux de la lemniscate; 



par M. Chasles. 



Les proprits des arcs d'une section conique dont la diffrence est 

 rectifiable donnent lieu quelques proprits des arcs d'une lemniscate 

 qui ont mme longueur. Mais dans les sections coniques, c'est la considra- 

 tion des tangentesla courbe, menes par les extrmits des arcs compars, 

 qui donne lieu aux proprits que j'ai fait connatre (x) ; et dans la lemniscate , 

 les proprits correspondantes s'appliquent non pas aux tangentes , mais 

 aux droites menes par les extrmits des arcs , perpendiculairement aux 

 rayons vecteurs qui partent du centre de la courbe et aboutissent ces 

 points. 



Voici comment la considration de ces normales aux rayons vecteurs , 

 et les proprits des arcs gaux qui s'y rapportent, drivent des proprits 

 des arcs de section conique qui ont leur diffrence rectifiable. 



> La lemniscate est le lieu des pieds des perpendiculaires abaisses du 

 centre d'une hyperbole quilatre sur les tangentes cette courbe. En outre, 

 les rayons vecteurs de la lemniscate et de l'hyperbole, issus du centre com- 

 mun des deux courbes, et de mme direction, ont leur produit constant. 

 Ces deux proprits de la lemniscate sont connues; j'y joindrai celle-ci, 

 qui va nous tre utile: Le rayon vecteur et sa normale, mens par un point 

 de la lemniscate, dterminent sur l'hyperbole deux points qui sont situs 

 sur une mme ordonne; c'est--dire que le point o la normale touche 

 l'hyperbole est sur la mme ordonne que le point o le rayon vecteur ren- 

 contre cette courbe. 



Cela pos, les rayons vecteurs mens aux extrmits d'un arc de la 

 lemniscate , tant prolongs, comprennent un arc de l'hyperbole , et les nor- 

 males aux deux rayons vecteurs touchent l'hyperbole en deux points qui 

 dterminent un second arc gal au premier; chacun de ces deux arcs peut 

 tre considr comme le correspondant de l'arc de la lemniscate. 



Il y a entre les arcs de la lemniscate et leurs correspondants sur l'hyper- 

 bole, cette relation qui se dmontre aisment : 



A deux arcs gaux de la lemiscale correspondent sur l'hyperbole, 

 deux arcs dont la diffrence est rectifiable. 



C'est par suite de ce thorme, que les proprits des arcs de l'hyper- 



(i) Voir Comptes rendus, t. XVII, p. 838; anne i843. 



