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arc de courbe algbrique, en se bornant, toutefois, au cas o les deux co- 

 ordonnes rectangulaires d'un point de la courbe sont exprimables ration- 

 nellement en fonction de la variable laquelle se rapporte l'intgration. En 

 d'autres termes, il cherche les solutions relles et rationnelles que peut 

 avoir l'quation dx 2 + dy 2 = Zdz 2 , o x, y et Z dsignent des fonctions 

 de z. 



Ce problme d'analyse indtermine, trs-intressant en lui-mme, 

 indpendamment de ses applications, est rsolu d'une manire simple dans 

 le Mmoire de M. Serret. On arrive une formule gnrale. Mais les calculs 

 auxquels il faut ensuite se livrer, quand on veut complter la solution pour 

 une intgrale de forme donne , tant longs et compliqus , M. Serret ne s'est 

 occup avec dtail que des fonctions elliptiques de premire espce. Il sup- 

 pose ces fonctions mises sous la forme 



/ 



Cdz 



y(z-> a->)(z> a') 



C tant une constante relle , a et a deux constantes imaginaires conjugues, 

 et il n'a plus ainsi Iraiter que l'quation 



tbc 2 + dj 2 = ^J^_ e y 



il se borne mme chercher les solutions pour lesquelles les expressions 

 rationnelles de x z\.y ne contiennent, en dnominateur, aucun facteur dif- 

 frent de ceux du second membre , z a, z zh a. 



Dans ce cas particulier, qui parat du reste un des plus importants, et 

 qui suffit pour montrer comment la mthode gnrale se prte aux applica- 

 tions, M. Serret prouve que les constantes imaginaires conjugues a et a 

 doivent satisfaire une certaine condition ncessaire et suffisante ; la valeur 

 du rapport du carr de leur somme au quadruple de leur produit, qui com- 

 pose le carr du module de la fonction elliptique ramene la forme ordi- 



ne peut pas tre prise volont; elle doit tre choisie 



\/i P sin 2 9 



parmi les racines de certaines quations algbriques dont le degr est arbi- 

 traire , et qui contiennent en outre , dans leurs coefficients , un nombre entier 

 indtermin, de manire que pour chaque degr le nombre des racines est 

 infini. Quand le module satisfait une de ces quations, on obtient aisment 

 les deux quantits x +J\J 1, x j\i 1, et, par suite, x et jr. On a 



