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de la sorte une infinit de fonctions elliptiques de premire espce, dont les 

 valeurs s'expriment par un arc de courbe algbrique, ou, rciproquement, 

 une infinit de courbes algbriques, dont les arcs s'expriment par des fonc- 

 tions elliptiques de premire espce , et participent , ds lors, aux proprits 

 de ces fonctions relativement l'addition, la soustraction, la multiplication 

 et la division en parties gales. 



On peut distinguer les courbes dont nous parlons, en classes, d aprs le 

 degr de l'quation laquelle satisfait le carr du module. L'exemple dj 

 connu de la lemniscate , dont les arcs s'expriment par la fonction elliptique 



de premire espce au module v/-> se trouve bien lgammentgnralisdans 

 la premire classe o Ton rencontre tous les modules de la forme \/ 



r V /2+ i 



L'analyse de M. Serret suppose essentiellement n entier; mais nous nous 

 sommes assurs que les formules auxquelles elle conduit finalement con- 

 servent leurs principales proprits, lorsqu'on prend n fractionnaire. Ainsi 

 les carrs des modules peuvent tre des fractions proprement dites quel- 

 conques, sans que les courbes correspondantes cessent d'tre algbriques , et 

 d'offrir par leurs arcs utie reprsentation des intgrales; seulement, les va- 

 leurs de x et y ne sont plus rationnelles en z. 



Le Mmoire de M. Serret renferme , comme on voit , des rsultats utiles, 

 remarquables. On savait depuis longtemps qu'il existe une courbe du sixime 

 degr dont les arcs reprsentent, une quantit algbrique prs, les fonc- 

 tions elliptiques de premire espce. On peut mme, dans chaque cas , faire 

 disparatre la quantit complmentaire algbrique , en prenant convenable- 

 ment les extrmits de l'arc; mais, cause des deux extrmits variables, il 

 y a, en quelque sorte , deux arcs employs, et ce n'est pas par un lment 

 \/dx 2 -h dj 2 , mais par la diffrence de deux lments, que la diffrentielle del 

 fonction elliptique se trouve exprime. Sous un certain point de vue , une telle 

 reprsentation doit tre regarde comme imparfaite. Nous avons , au con- 

 traire , un mode parfait de reprsentation dans la lemniscate; aussi les go- 

 mtres ont-ils tudi cette courbe avec beaucoup de soin. Or, M. Serret nous 

 fait connatre une infinit de courbes algbriques dont les arcs jouissent aussi 

 de la proprit d'avoir une diffrentielle identiquement gale celle d'une 

 fonction elliptique de premire espce; de l un nouveau champ ouvert aux 

 spculations gomtriques. La rduction des quadratures aux rectifications, 

 considre en gnral, et la rsolution des quations indtermines dont elle 

 dpend, appartiennent d'ailleurs une branche tendue et difficile de l'analyse 



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