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II. Sur la formule que Lagrange a donne pour base la trigonomtrie sphrique. 



Considrons un angle solide tridre, dont les cts soient prolongs, 

 partir du sommet O, dans des directions dtermines OA, OB, OC. Nom- 

 mons r, s, t trois longueurs mesures partir du point O dans ces mmes 

 directions , et reprsentons par 



a, b, c 

 les angles plans 



Enfin soient 



(*,<), (*,v), (v y s). 



a, g, y 



les angles didres opposs ces angles plans. On pourra, comme Lagrange 

 Fa fait voir, dduire toute la trigonomtrie sphrique de la seule formule 



(i) cos a = cos b cos c -+- sin b sin c cos a. 



J'ajoute que cette formule est comprise, comme cas particulier, dans celle 

 qui sert valuer l'angle de deux droites dont les positions sont rapportes 

 un systme d'axes rectangulaires, c'est--dire que la formule (i) est une 

 consquence immdiate de la formule (17) du I er . C'est ce que je vais d- 

 montrer en peu de mots. 



Rapportons la position d'un point quelconque trois axes rectangulaires 

 mens par le point O, et prolongs chacun dans une direction donne. Sup- 

 posons d'ailleurs que de ces trois axes rectangulaires le premier soit prci- 

 sment celui sur lequel se mesure la longueur r, le deuxime tant situ 

 dans le plan rs, et dirig par rapport r du mme ct que la longueur s. 

 Enfin, supposons le troisime axe dirig par rapport au plan rs du mme ct 

 que la longueur t. Si, pour fixer les ides, on nomme s t , t t deux longueurs 

 mesures sur le deuxime et sur le troisime axe dans les directions de ces 

 mmes axes, alors la formule (1 7) du I er , applique la dtermination de 

 l'angle a compris entre les directions des longueurs s et t, donnera 



(2) cos {s, t) = cos {s, r)cos(t,r)-\- cos (s, ^)cos(^,^) + cos (s,t r ) cos (<,*,) 

 D'ailleurs t t tant perpendiculaire au plan rs, et par consquent s, on 



