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 ment possible de se donner deux conditions, toujours exprimes par des rela- 

 tions entre les paramtres arbitraires, et d'astreindre une conique satisfaire 

 ces deux conditions, et, de plus, avoir un contact du deuxime ordre avec 

 la trajectoire. Dans chacun de ces cas on obtient gnralement une section 

 conique osculatrice unique pour chaque point de la trajectoire, et les points 

 remarquables tels que les foyers , le centre, les sommets, etc., etc., sont com- 

 pltement dtermins. 



Admettons que le point d'osculation se dplace et parcoure la trajectoire; 

 pour chacune des positions qu'il occupe successivement , on peut concevoir 

 trace une section conique osculatrice du mme ordre et astreinte aux mmes 

 conditions. Toutes ces courbes peuvent tre considres comme des tats 

 divers qu'affecte une mme conique dont les paramtres varient suivant une 

 certaine loi et d'une manire continue : par consquent, chaque point remar- 

 quable dcrit une courbe qui est compltement dtermine et qu'on peut 

 tracer par points, puisque la conique correspondante peut tre construite. 



M. Poncelet a donn, dans le Journal de M. Crelle (tome VIII), diverses 

 constructions de sections coniques osculatrices aux courbes du troisime 

 ordre. Plusieurs autres gomtres, Ampre dans le Journal de l'Ecole Poly* 

 technique (xvi e cahier); Laucret, dans les Mmoires de l'Institut (tome II); 

 M. Transon, dans le Journal de M. Liouville (numro de mai 1841), etc., se 

 sont occups, sous divers points de vue, de sections coniques osculatrices 

 aux courbes planes. Mais personne, nous le pensons du moins, n'a encore 

 tudi spcialement les courbes que peuvent dcrire les foyers des sections 

 coniques osculatrices des divers ordres une trajectoire donne. Cependant 

 ces courbes jouissent de proprits nombreuses, dont quelques-unes se d- 

 montrent assez simplement et peuvent devenir d'une certaine importance 

 dans l'tude de la gomtrie : ne serait-ce qu'en tablissant un lieu naturel 

 entre plusieurs questions qui paraissent distinctes, mais qui, aperues d'un 

 point de vue plus gnral , ne sont que des cas particuliers d'une mme 

 thorie? 



Le lieu des foyers de toutes les sections coniques osculatrices du qua- 

 trime ordre, aux divers points d'une trajectoire plane quelconque, est l'en- 

 veloppe des diffrentes courbes dcrites par les foyers des sections coniques 

 osculatrices du troisime ordre seulement, que l'on conoit traces en nombre 

 infini pour chacun des points de la trajectoire. 



Dans les autres cas, on peut toujours prendre les relations entre les pa- 

 ramtres , qui sont ncessaires pour dterminer compltement la section 

 conique osculatrice , de telle sorte que le lieu des foyers de toutes ces co- 



