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Si l'on suppose f =oou3 = o, quel que soit Q\ on retombe sur la dve- 

 loppe ordinaire. Quand on pose sin 6 = k sin Q', k tant une constante quel- 

 conque , on a les diverses caustiques. On obtient d'autres dveloppes ellip- 

 tiques, dont la construction est pareillement trs-simple, en posant, par exem- 

 ple, sin ^^/cpsinQ', p dsignant la distance du point fixe P chaque point M 

 de la trajectoire, ou encore en faisant sin $ = k cos', etc., etc. 



Lorsqu'au lieu de regarder le point P comme fixe, on le suppose astreint 

 parcourir une certaine courbe donne dans le plan de la trajectoire me- 

 sure que le point d'osculation se dplace sur celle-ci , on trouve encore deux 

 nouvelles dveloppes elliptiques qui peuvent tre considres comme les 

 enveloppes de toutes celles que l'on obtiendrait relativement chaque posi- 

 tion particulire du point P sur la courbe donne. L'une de ces enveloppes 

 correspond aux rayons incidents tangents cette dernire courbe , et l'autre 

 aux rayons incidents tangents la trajectoire. Ainsi, qu'au lieu d'un point 

 lumineux isol, on considre une courbe lumineuse quelconque situe dans 

 le plan de la trajectoire, chaque point de cette courbe formera une caustique, 

 et l'enveloppe des diffrentes caustiques par rfraction, qui correspond aux 

 rayons incidents tangents la trajectoire, est identique avec la dveloppode 

 de Lancret. 



Si l'on veut que le lieu des foyers des sections coniques osculatrices du 

 troisime ordre, et satisfaisant une certaine relation donne, soit l'enve- 

 loppe des courbes dcrites par les foyers des coniques osculatrices du 

 deuxime ordre et satisfaisant la mme relation, il faut et il suffit que la 

 relation donne exprime que toutes ces coniques sont des paraboles. 



Mais alors le lieu des foyers des paraboles osculatrices du deuxime 

 ordre en un mme point M d'une courbe plane quelconque est, comme on 

 sait, un cercle tangent la trajectoire et ayant pour rayon le quart du rayon 

 de courbure correspondant. Donc gnralement, si en chaque point dune 

 trajectoire quelconque on dcrit un cercle tangent avec un rayon gal au 

 quart du rayon de courbure, tous ces cercles le couperont conscutivement 

 deux deux, et leur enveloppe commune sera le lieu des foyers de toutes 

 les paraboles osculatrices du troisime ordre la trajectoire propose. 



Dans le cercle, par exemple, cette courbe est un nouveau cercle con- 

 centrique au premier et ayant son diamtre gal au rayon de celui-ci. 



Le lieu des foyers des sections coniques osculatrices du troisime ordre 

 en un mme point d'une trajectoire est une courbe du troisime degr ana- 

 logue au folium do Descartes , et ayant pour asymptote la parallle sjmtri- 



