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trations nouvelles, et gnralement trs-simples, de diverses propositions et 

 formules relatives la thorie des surfaces courbes, et en particulier des 

 propositions que M. Gauss a tablies dans le beau Mmoire intitul : Disqui- 

 sitiones gnrales circ superficies curvas. Mais les mthodes auxquelles 

 M. Bonnet a eu recours, en s appuyant principalement sur des considrations 

 gomtriques, jointes l'emploi des infiniment petits, l'ont conduit encore 

 des propositions et des formules qui n'taient pas connues. 



Nous avons vrifi une grande partie des formules nouvelles obtenues 

 par M. Bonnet, et nous en avons constat l'exactitude Nous avons surtout 

 remarqu celles qui sont relatives deux systmes de lignes orthogonales, 

 traces sur une surface courbe. Lorsque ces lignes se rduisent aux lignes de 

 courbure, les formules tablies par M. Bonnet se confondent en partie avec 

 celles qui ont t donnes par divers auteurs, spcialement par M. Lam et par 

 M. Bertrand. Mais, lorsque la condition nonce cesse d'tre remplie, alors, 

 pour retrouver des formules qui offrent quelque analogie avec celles qui 

 taient dj connues, il convient d'introduire dans le calcul, ainsi que l'a fait 

 M. Bonnet, un nouvel lment, savoir, l'angle que forme le plan oscillateur 

 de chaque courbe avec le plan tangent la surface, ou, ce qui revient au 

 mme , l'angle que forme, en un point donn de la surface , le rayon de cour- 

 bure d'une courbe appartenant l'un des systmes donns avec la tangente 

 de la courbe qui appartient l'autre systme. Au reste , on peut s'assurer, 

 comme l'a fait le rapporteur, que les formules ainsi tablies par M. Bonnet 

 sont comprises elles-mmes, comme cas particuliers, dans d'autres formules 

 plus gnrales , relatives deux systmes quelconques de lignes traces sur 

 une surface courbe, et formant entre elles, en chaque point, un certain 

 angle qui peut tre volont ou aigu , ou obtus, ou mme variable suivant 

 une loi quelconque d'un point un autre. 



* Parmi les propositions dj connues que M. Bonnet a retrouves et d- 

 montres fort simplement l'aide de ses mthodes , on doit remarquer le 

 beau thorme de M. Gauss, relatif la transformation des surfaces. Suivant 

 ce thorme, pour qu'une surface puisse s'appliquer sur une autre sans d- 

 chirure ni duplicature , il est ncessaire que les points de ces surfaces se cor- 

 respondent deux deux, de telle sorte que la courbure de la premire sur- 

 face, c'est--dire la moyenne gomtrique entre ses deux courbures princi- 

 pales, soit, en un point quelconque , quivalente la courbure de la seconde 

 surface dans le point correspondant. En dmontrant ce thorme et la pro- 

 position rciproque, M. Bonnet a donn aussi le caractre analytique qui 

 distingue deux lignes correspondantes traces sur les deux surfaces courbes. 



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