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 Le nombre total des substitutions relatives au systme de n variables 

 x, y, z,. . . est videmment gal au nombre N des arrangements que l'on 

 peut former avec ces variables, puisqu'en prenant pour dnominateur un 

 seul de ces arrangements, le premier par exemple, on peut prendre pour 

 numrateur l'un quelconque d'entre eux. La substitution, dont le numra- 

 teur est le dnominateur mme, peut tre cense, se rduire l'unit, puis- 

 qu'on peut videmment la remplacer par le facteur i , dans les produits 



)c = c, 



?Hc)aHc> 



Une substitution f ) > multiplie par elle-mme plusieurs fois de suite , 



donne pour produits successifs son carr, son cube, et gnralement ses di-' 

 verses puissances, qui sont "naturellement reprsentes parles notations 



D'ailleurs, la srie qui aura pour termes la substitution II et ses diverses 

 puissances, savoir, 



c 



'B\ 

 



ne pourra jamais offrir plus de N substitutions rellement distinctes. Donc , 

 en prolongeant cette srie, on verra bientt reparatre les mmes substitutions* 

 On prouve aisment que la premire de celles qui reparatront sera quiva- 

 lente l'unit , et qu' partir de celle-ci les substitutions dj trouves se re- 

 produiront priodiquement dans le mme ordre. Donc, le nombre i des 

 termes distincts de la srie sera toujoursla plus petite des valeurs entires de i 

 pour lesquelles se vrifiera la formule 



'-* 





Le nombre i, ainsi dtermin , ou le degr de la plus petite des puissances 

 de I j quivalentes l'unit, sera ce que nous appellerons le degr ou Y or- 

 dre de la substitution ( } 



