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Supposons maintenant qu'une substitution rduite sa plus simple 

 expression se prsente sous la forme 



y z . . . vwx\ 

 xy . . . u v wj 



c'est--dire , qu'elle ait pour objet de remplacer x par y, puisj par z,..., et 

 ainsi de suite jusqu' ce que l'on parvienne une dernire variable w, qui 

 devra tre remplace par la variable x de laquelle on tait parti. Pour effec- 

 tuer cette substitution, il suffira videmment de ranger sur la circonfrence 

 d'un cercle indicateur, divise en parties gales , les diverses variables 



X,J,Z,...,U,V,W, 



en plaant la premire, la seconde , la troisime,... sur le premier, le second, 

 le troisime,... point de division, puis de remplacer chaque variable par celle 

 qui la premire viendra prendre sa place , lorsqu'on fera tourner dans un 

 certain sens le cercle indicateur. Pour ce motif nous donnerons la substitu- 

 tion dont il s'agit le nom de substitution circulaire. Nous la reprsenterons , 

 pour abrger, par la notation 



(x,y,z,...,u,v,w); 



et il est clair que , dans cette notation , une quelconque des variables 



x,y,z,...u,i>,w 



pourra occuper la premire place. Ainsi, par exemple, on aura identi- 

 quement 



(x, jr,z)=z {f,z,x) = {z,x,j). 



L'ordre n d'une substitution circulaire sera videmment le nombre mme 

 des lettres qu'elle renferme. Il est d'ailleurs facile de s'assurer que, n tant 

 l'ordre de la substitution circulaire 



(x,y,z,...,u, v,w), 

 la puissance l ime de cette substitution, savoir, 



(x,j,z,...,u,v,w) 1 , 

 sera une nouvelle substitution de l'ordre n, si / et n n'ont pas de facteurs 





