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communs, ou, en d'autres termes, si l est premier n. Si, au contraire, 

 l cesse d'tre premier n, alors, k tant le plus grand commun divi- 

 seur des nombres /,n, et h tant le quotient de la division de n par k, la 

 substitution 



O, J,Z, ...,u, v,w) 1 



sera le produit de h substitutions circulaires de l'ordre k. Ainsi , par exemple , 

 on aura , en posant n = 4 



(x,j,z,u) i = {x,z)(y,u), (x,y,z,u) 3 =:(x,u,z,f); 



et l'on trouvera pareillement, en posant n= 6, 





 (x,y,z,i.t,i>,w) 2 = (x,z,v)(f,u,w), (r,j,z,u,v,iv) 3 = (x,u)(x,v)(z,w), 



(x,j,z,u,v,wy = (x,v,z)(y,w,u), (x, f,z,u,v,wf = (x,w,v,u,z, y). 



II. Proprits diverses des substitutions, et dcomposition d'une substitution donne en 



substitutions primitives. 



Il est facile de s'assurer qu'une substitution quelconque , relative un 

 nombre quelconque de variables, est toujours un produit de substitutions 

 circulaires; ainsi, par exemple, on a 



yz) = (*. ) Cr. *)> Z) = (*. . ") (j. ) 



Cela pos, soit ( ) une substitution de l'ordre t, relative un nombre n de 

 variables 



( ) sera ncessairement ou une substitution circulaire, ou le produit de plu- 

 sieurs substitutions circulaires dont quelques-unes pourront renfermer une 

 seule lettre et se rduire l'unit. Ces substitutions circulaires sont ce que 



nous appellerons les facteurs circulaires de I ). Deux quelconques d'entre 

 elles, taut composes de lettres diverses, seront videmment permutables. 

 Donc, tous les facteurs circulaires de f ) seront permutables entre eux et re- 

 prsenteront des substitutions qui pourront tre effectues dans un ordre 



