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analyse mathmatique. Sur le nombre des valeurs gales ou distinctes 

 que peut acqurir une fonction de n variables , quand on permute ces 

 variables entre elles dune manire quelconque; par M. Augustin Cauohy. 

 ( Suite.) 



Je me bornerai, pour l'iustant, indiquer, dans cet article, quelques- 

 uns des principaux rsultats de mon travail. Les propositions que j'non- 

 cerai ici se trouveront d'ailleurs dmontres et dveloppes dans les Exer- 

 cices d Analyse et de Physique mathmatique. 



P r . Sur les diverses formes que peut prendre une fonction symtrique ou non symtrique 



de n'variables. 



Considrons une fonction 2 de n variables 



x, y, z,... 



et supposons que cette fonction reste continue pour chacun des systmes de 

 valeurs attribues aux variables dont il s'agit. Prenons d'ailleurs 



(i) 7V= i .2.3. . .n. 



Lorsqu'on permutera les variables entre elles de toutes les manires pos- 

 sibles , on obtiendra N valeurs diverses de la fonction Q. , et deux quel- 

 conques de ces valeurs pourront tre ou gales entre elles, quels que soient 

 x, jr, z,..., ou gnralement ingales et distinctes l'une de l'autre. Si 

 l'on nomme m le nombre des valeurs distinctes de la fonction 2, et M le 

 nombre de ses valeurs gales, chacune des valeurs distinctes pourra prendre 

 informes diverses, et, par suite, on aura 



(2) mM = N. 



En vertu de cette formule, qui tait dj connue, la dtermination du nom- 

 bre des valeurs distinctes d'une fonction se trouve ramene la dtermina- 

 tion du nombre des valeurs gales, ou, ce qui revient au mme, la dter- 

 mination du nombre des permutations que l'on peut effectuer sur les variables 

 x, y, z, . . . , sans altrer la fonction 2. 



Concevons maintenant que l'on essaye de partager la suite des variables 



x t y-i z t 

 en plusieurs autres suites ou groupes, en runissant deux variables dans un 



