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 dans le dveloppement du polynme 



(r + s-h t + ...)", 



on tirera des formules (a), (6) , (7) , . . . 



(9) m = SK, X ifc G, . . . , 



Considrons maintenant le cas o les divers groupes forms avec les 

 variables x , y , z,..., ne sont plus indpendants les uns des autres. Je suis 

 parvenu dmontrer que, dans ce cas encore, les nombres M et m, c'est-- 

 dire , le nombre des valeurs gales et le nombre des valeurs distinctes de la 

 fonction , pourront tre dtermins l'aide des formules (6) et (9) , si l'on 

 attribue aux facteurs A, B, C,. . ., ou x, ^>, 2,- , les valeurs que je vais in- 

 diquer. On devra, dans le cas dont il s'agit, reprsenter parole nombre 

 des valeurs gales que pourra obtenir O, en vertu de substitutions corres- 

 pondantes des permutations diverses des variables a, S, 7,..., comprises dans 

 le premier groupe ; par B le nombre des valeurs gales que pourra obtenir ii , 

 en vertu de substitutions qui, sans dplacer a, , -y,..., correspondront des 

 permutations diverses des variables X,/x,v,..., comprises dans le second 

 groupe ; par C le nombre des valeurs gales que pourra obtenir Q. , en vertu 

 de substitutions qui, sans dplacer ni a,, y,..., ni X,jx,v,..., produiront des 

 permutations diverses des variables <p, y, <j>,..., comprises dans le troisime 

 groupe. Il pourra d'ailleurs arriver que des permutations diverses des va- 

 riables comprises dans l'un des groupes entranent des permutations corres- 

 pondantes des variables comprises dans les groupes suivants, en sorte qu'on 

 soit oblig, pour ne pas altrer la valeur de 12, d'effectuer simultanment 

 ces permutations correspondantes. Il y a plus; la correspondance dont il 

 s agit ici devra certainement avoir lieu , au moins pour quelques permutations , 

 dans l'hypothse admise que les divers groupes ne sont pas tous indpendants 

 les uns des autres. Quant aux facteurs ^,if>, S,..., ils devront toujours tre 

 dtermins l'aide des formules (7); et l'on peut dmontrer qu'alors chacun 

 d'eux sera encore propre reprsenter le nombre des valeurs distinctes dune 

 certaine fonction des variables a, 6, 7,..., ou X, f/., v,..., ou <p,%, ^,..., comprises 

 dans le premier, ou dans le second, ou dans le troisime,... groupe. 



Pour faire mieux comprendre ce qui prcde , appliquons la formule (9) 

 quelques exemples. 



I er Exemple. Supposons =: 5, 



Q. = x* y 3 z +y 3 z 2 x -+- z 3 x 2 y ..-h- uv . 



