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 deux substitutions diffrentes, la premire de l'ordre a, la seconde de l'or- 

 dre b , et posons 



R = PQ, S = QP. 

 On en conclura 



R> = PQPQ, S 2 = QPQP, 



etc. ..; puis on tirera de ces diverses quations 



RP = PS, 



R a P = PS 2 , 



etc., 

 et gnralement 



(5) R'P = PS', 



/ tant un nombre entier quelconque. Or, il rsulte videmment de l'qua- 

 tion (5) que des deux formules 



(6) R'=i, S'=i, 



la premire entranera toujours la seconde et rciproquement. Donc la plus 

 petite valeur entire de l, propre vrifier la premire formule, sera aussi la 

 plus petite valeur entire de / propre vrifier la seconde. Donc R et S se- 

 ront toujours deux substitutions de mme ordre, et l'on peut noncer la pro- 

 position suivante : 



I er Thorme. Si l'on multiplie deux substitutions lune par l'autre, on 

 obtiendra pour produit une troisime substitution dont l'ordre ne variera 

 pas quand on changera entre eux les deux facteurs. 



a Ainsi, par exemple, si l'on multiplie, i (x , j) par (y, z), i (y, z) 

 par (x, jr), on obtiendra pour produit, dans le second cas comme dans le 

 premier, une substitution du second ordre, et Ion trouvera 



{j, z){x,j) =.(*> z, j), {x, j)(j, z) = (x,j, z). 



Deux substitutions tant toujours inverses l'une de 1 autre, quand leur 

 produit est l'unit, on en conclut que la substitution PQ a pour inverse 

 Q _ 'P -1 , et que, pareillement, la substitution P A Q A a pour inverse Q _A P _/ '. 



Concevons maintenant que la suite 



(7) i, P, Q, R, S,... 



ioi.. 



