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(i4) Q, QP, QP a ,-- , QP 



offrent prcisment les mmes substitutions, ranges seulement suivant deux 

 ordres diffrents. Alors toutes les drives des deux substitutions P, Q seront 

 comprises dans chacune des formes 



(i5) P*Q* f Q*!"; 



et, par suite, ces drives offriront un systme de substitutions conjugues 

 dont l'ordre sera gal au produit ab. 



Dmonstration. En effet, pour dduire les drives dont il s'agit les unes 

 des autres , et pour les dduire mme des substitutions P et Q , il suffira 

 d'effectuer des multiplications successives dans lesquelles le multiplicateur 

 sera toujours PouQ, le multiplicande tant l'uue des drives dj obtenues. 

 Or, si dans ces multiplications on emploie une seule fois le facteur Q, la 

 forme la plus gnrale du produit obtenu R sera 



R = P*QP*', 



et, dans l'hypothse admise, on pourra rduire ce produit R l'une quel- 

 conque des deux formes P A Q, QP /( , puisqu'on pourra changer le facteur Q 

 avec l'un quelconque des facteurs P A , P h ' en modifiant convenablement la 

 valeur de h ou de h'. Si l'on emploie deux fois le facteur Q, la forme la plus 

 gnrale du produit obtenu R sera 



R=P''QP A QP A ". 



Mais on pourra encore changer chacun des facteurs Q avec une puissance 

 quelconque de P, en modifiant convenablement le degr de cette puissance, 

 et rduire ainsi R l'une des formes P A Q 2 ,Q 2 P 7 '; etc.... Cela pos, les seules 

 drives qui pourront tre distinctes les unes des autres seront videmment 

 celles qui sont renfermes dans le tableau 



i , P, P 2 ,-, P fl - , 



Q,PQ,P'Q,..., P Q, 



(,6) ' Q a ,PQ 2 ,FQV.., P Q, 



Q*-'.P Q*-', P* Q b - ',..., P-> Q*-', 

 ou bien encore dans le tableau 



