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Mais alors l'quation (19) donnera 



(ao) P'* A Q* = Q*P A . 



On peut donc noncer gnralement la proposition suivante : 

 4 e Thorme. Reprsentons par 



n variables distinctes, et supposons gnralement x t = x n+l = x 2n+l = . . . . 

 Soit d'ailleurs 



f = (X , X t , .X" 2 , . . . , X n ). 



Enfin, soit r un nombre premier , et reprsentons par Q la substitution 

 qu'on obtient quand on remplace x t par x rl . Alors on aura, pour des va- 

 leurs entires quelconques de h et de k, 



(ai) P r<A Q* = Q*P*. 



Corollaire. Il est bon d'observer que la substitution P et ses diverses 

 puissances , quand elles ne se rduisent pas l'unit , renferment les n va- 

 riables donnes 



^0 1 ^1 1 3*1 > 1 3*n{ 



Au contraire, la substitution Q et ses puissances laissent toujours immobile, 



au moins la variable x , mme dans le cas o n est un nombre premier. 



Donc les substitutions dsignes par P et Q dans le thorme 4 ne peuvent 



jamais vrifier la formule 



P A = Q A , 



si ce n'est dans le cas o l'on a P'' = 1 , Q* = 1 . D'autre part , en posant 

 k = 1 , on tire de la formule (21) 



(22) P rA Q=QP\ 



et il rsulte de cette dernire que, dans l'hypothse admise , les deux 



suites 



Q, PQ, P'Q,.. , P-'Q, 

 Q, QP, QF,..., QP"- 



offrent prcisment les mmes substitutions diversement ranges. Enfin Q 



C. R., 1845, a me Semestre. (T. XXI, N 14.) 102 



