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P sera une substitution rgulire , et mme circulaire du sixime ordre, dont 

 les diverses puissances 



P 2 , P 3 , P 4 , P 5 



seront des substitutions rgulires du troisime , du second et du sixime 

 ordre. On aura, par exemple, 



P 2 = {x, z, i>)(7, ", w), 



P 3 = (x, u) (j, V) (Z, TV). 



Au contraire, les diverses puissances d'une substitution irrgulire seront, 

 les unes rgulires, les autres irrgulires, et celles qui seront rgulires ne 

 renfermeront qu'une partie des variables comprises dans la substitution 

 doqne. Ainsi, par exemple, si Ton pose 



p = te jr ) (, v), 

 P sera une substitution irrgulire du sixime ordre, et 



P s = (x, z, y) {u, v) 

 sera encore une substitution irrgulire du sixime ordre. Mais 



P a m (*, z, y) P 3 = (, v\ P* = (x, jr, z) 



seront des substitutions rgulires du troisime ou du second ordre, dont 

 chacune ne renfermera ncessairement qu'une partie des variables comprises 

 dans P. 



Si l'on dsigne gnralement par i le nombre des variables que ren- 

 ferme une substitution rgulire P, l'ordre a de cette substitution, et le 

 nombre b de ses facteurs circulaires seront videmment lis i par la for- 

 mule 



j = ab. 



Gela pos, concevons que l'on range sur a lignes horizontales distinctes, 

 et sur b lignes verticales, les i variables comprises dans P, en plaant la 

 suite l'une de l'autre, dans une mme ligne horizontale, les variables qui se 

 suivent immdiatement dans un mme facteur circulaire de P. On obtiendra 

 encore une substitution rgulire Q de l'ordre /, en prenant pour facteurs 

 de Q, a substitutions circulaires de l'ordre b, dans chacune desquelles seront 

 places, la suite l'une de l'autre, les variables que renferme une mme 



