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sera de l'ordre 



a". 



Ajoutons que, si a est un nombre premier, le systme dont il s'agit renfer- 

 mera seulement des substitutions rgulires de l'ordre a , dont quelques-unes, 

 savoir, les substitutions (i) et leurs puissances, se rduiront des substitutions 

 circulaires de l'ordre a. 



Soit maintenant b un nombre gal ou infrieur h, et kb un multiple 

 de b contenu dans h. Avec plusieurs des prcdents groupes que j'appellerai 

 groupes de premire espce, on pourra composer des groupes de seconde 

 espce, dont chacun embrasse b groupes de premire espce, et dont le 

 nombre soit gal k. Cela pos, nommons 



(2) Q Q..., Q* 



des substitutions dont chacune consiste permuter circulairement entre eux 

 les b groupes de premire espce compris dans un seul groupe de seconde 

 espce. Chacune des substitutions (2), exprime l'aide des variables primi- 

 tives , sera une substitution rgulire quivalente au produit de a facteurs 

 circulaires dont chacun sera de l'ordre b; et ces substitutions seront permu- 

 tables, non-seulement entre elles, mais encore avec les substitutions (1). Par 

 suite, le systme des substitutions (1) et (2), et de leurs drives, sera de 

 l'ordre 



a h b". 



Ajoutons que, si a et b sont des nombres premiers, le systme dont il s'agit 

 se composera uniquement de substitutions rgulires, les unes de l'ordre a, 

 les autres de l'ordre b. 



En continuant ainsi, on tablira gnralement la proposition sui- 

 vante : 



I er Thorme. Considrons un systme de n variables .r, jr, z,.... Soient 

 d'ailleurs a un nombre entier, gal ou infrieur n , et i = ha un multiple de 

 a contenu dans n. Soit encore b un nombre entier, gal ou infrieur h, et 

 kb un multiple de b contenu dans k. Soient pareillement c un nombre entier, 

 gal ou infrieur k, et le un multiple de c contenu dans k. On pourra tou- 

 jours former avec i variables arbitrairement choisies , un systme de substi- 

 tutions conjugues dont l'ordre sera reprsent par le produit 



a h b k c 1 ..., 



C. R. , 18^5, a" Semestre. (T. XXI, N 18.) I9 



