(8 9 6) 

 sont permutables entre eux , si tout produit de la forme 



est en mme temps de la forme 



QaP*. 



Il pourra d'ailleurs arriver, ou que les indices h et A restent invariables 

 dans le passage de la premire forme la seconde , en sorte qu'on ait 



p a Q* = Q*p a ; 



ou que les indices h et A' varient dans ce passage , en sorte qu'on ait 



PaQ* = Qa'Pa', 



h', k' tant de nouveaux indices, lis d'une certaine manire aux nombres 

 h et A\ Dans le premier cas, l'une quelconque des substitutions (i) sera per- 

 mutable avec l'une quelconque des substitutions (2). Dans le second cas, au 

 contraire, deux substitutions de la forme P A , Q A , cesseront d'tre gnrale- 

 ment permutables entre elles , quoique le systme des substitutions de la 

 forme P A soit permutable avec le systme des substitutions de la forme Q A . 

 Supposons maintenant que, les systmes (1) et (a) tant permutables 

 entre eux , on nomme S une drive quelconque des substitutions comprises 

 dans les deux systmes. Cette drive S sera le produit de facteurs dont 

 chacun sera de la forme P A ou Q A , et l'on pourra sans altrer ce produit : 

 i changer entre eux deux facteurs dont l'un serait de la forme P A , l'antre 

 de la forme Q*, pourvu que Ton modifie convenablement les valeurs des in- 

 dices h et k; a rduire deux facteurs conscutifs de la forme P h un seul 

 facteur de cette forme; 3 rduire deux facteurs conscutifs de la forme Q* 

 un seul facteur de cette forme. Or il est clair qu' l'aide de tels changes, 

 et de telles rductions, on pourra toujours rduire dfinitivement la substi- 

 tution S l'une quelconque des deux formes 



p a Q*, Q*P/, 



On peut donc noncer la proposition suivante : 

 i er Thorme. Soient 



