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en vertu de laquelle les deux sries offriraient un terme commun qui serait 

 distinct de l'unit. Donc, dans l'hypothse admise, les divers termes du 

 tableau (3), qui offrira toutes les valeurs possibles du produit 



QaP A , 



seront distincts les uns des autres, et, par suite, les drives distinctes des 

 substitutions (i) et (2) se rduiront aux termes de ce tableau. Donc le sys- 

 tme de substitutions conjugues , form par ces drives , sera d'un ordre 

 reprsent par le nombre des termes du tableau (3) , c'est--dire par le pro- 

 duit ab. On pourra d'ailleurs videmment remplacer le tableau (3) par le 

 tableau (4); et, par consquent , on peut noncer la proposition suivante : 



2 e Thorme. Les mmes choses tant poses que dans le thorme i er , 

 les drives des substitutions (1) et (2) formeront un nouveau systme de 

 substitutions qui seront toutes comprises dans le tableau (3) , ainsi que dans 

 le tableau (4); et l'ordre de ce systme sera le produit ab des ordres a, b des 

 systmes (1) et (2). 



On peut encore dmontrer facilement la proposition suivante qui 

 peut tre considre comme rciproque du second thorme. 



3 e Thorme. Soient 



fi) I, "o I !) m "a ti 



(2) 1, Q Q 2 ,-- ., Qi_i, 



deux systmes de substitutions conjugues, le premier de l'ordre a, le se- 

 cond de l'ordre b, qui n'offrent pas de termes communs autres que l'unit, 

 Si les drives de ces deux systmes forment un nouveau systme de substi- 

 tutions conjugues, dont l'ordre se rduise au produit ab, toutes ces drives 

 seront comprises dans chacun des tableaux (3) et (4); et, par consquent, les 

 systmes (1) et (2) seront permutables entre eux. 



Dmonstration. En effet, dans l'hypothse admise, chacun des ta- 

 bleaux (3), (4) se composera de termes qui seront tous distincts les uns des 

 autres, et qui seront en nombre gal celui de substitutions drives des 

 substitutions (1) et (2). Donc il renfermera toutes ces substitutions, dont 

 chacune sera tout la fois de la forme Q A P A , et de la forme V h Q k . 



Corollaire. Les conditions nonces dans le 3 e thorme seront certai- 

 nement remplies si aucune des substitutions comprises dans les systmes ,(1) 



