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 et (a) n'altre la valeur d'une certaine fonction Si des variables x, y, z,.. ., 

 et si d'ailleurs le nombre des valeurs gales de cette fonction est prcis- 

 ment le produit ab. On peut donc noncer encore la proposition suivante : 



4 e Thorme. Soient 



(1) * "> "' "a ti 



(2) I, Q., Q S V, Q*-M 



deux systmes de substitutions conjugues, le premier de l'ordre a, le second 

 de l'ordre b, qui n'offrent pas de termes communs autres que l'unit. Soit 

 d'ailleurs Si une fonction dont la valeur ne soit altre par aucune des substitu- 

 tions (1) ou (2). Si le nombre des valeurs gales de la fonction Si est prci- 

 sment le produit ab, les systmes (1) et (2) seront permutables entre eux, 

 et, par consquent, l'une quelconque des drives des substitutions com- 

 prises dans ces deux systmes sera tout la fois de la forme V h Q k et de la 

 forme Q A P A . 



Exemple. Posons n = 4 ; la fonction 



t={x - J){X-Z){J - Z) (j - U)(Z - U) 



offrira deux valeurs distinctes seulement, par consquent r 2 valeurs gales ; 

 et , parmi les substitutions qui n'altreront pas la valeur de cette fonction , se 

 trouveront, d'une part, les substitutions du second ordre 



P. = (JP, j) 0, ). P 2 = (x, z)(jr, h), P 3 = (x, u)(jr, z), 



qui forment avec l'unit un systme de substitutions rgulires conjugues, 

 du quatrime ordre; d'autre part, les substitutions du troisime ordre 



Q = G/, ft u), Q 2 = (j, u, z), 



qui forment, avec l'unit, un systme de substitutions conjugues du 

 troisime ordre. Cela pos, le produit 3x4 des ordres des deux systmes 

 tant prcisment le nombre 12 des valeurs gales de la fonction Si , on 

 conclura du 4 e thorme que les deux systmes de substitutions 



1 > "il "2? *81 



', Q, Q 2 , 



sont permutables entre eux, et que les drives de ces substitutions , c'est-- 



