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sera le nombre total des substitutions comprises dans le tableau (9) , c'est-- 

 dire des substitutions U pour lesquelles ne se vrifie jamais la formule (11). 

 Donc itf3t reprsentera le nombre des substitutions U pour lesquelles se 

 vrifie la mme formule, et le a e thorme peut tre remplac par la propo- 

 sition suivante : 



3 e Thorme. Formons avec n variables x, y, z,... deux systmes de 

 substitutions conjugues, savoir, 



, p, Q, R,.-. 



et 



1 *, %, *;..; 



soient d'ailleurs M, OKi les ordres de ces deux systmes, et Moi le nombre 

 des substitutions U qui vrifient une ou plusieurs quations de la forme 



(i4) u = up. 



Si l'on pose, pour abrger, 



N 

 JV= 1 . a . 3 ... n et m =r > 



M 



la diffrence 



m 3C 

 sera divisible par 3&. 



Les i er , 2 e et 3 e thormes entranent avec eux un grand nombre de 

 consquences qui sont encore clignes de remarque. Nous allons en indiquer 

 quelques-unes. 



La formule (i4), de laquelle on tire 



(i5) 9 = UPU- 1 , 



exprime que la substitution 9 est semblable la substitution P. Si cette 

 condition ne peut jamais tre remplie, c'est--dire si aucuue des substitu- 

 tions 



9, <^, ,.., 



n'est semblable l'une des substitutions 



P, Q, R,..., 

 on aura 



3C= O, 



